《贵州省黔东南州2019届高三下学期第一次模拟考试（理）数学试卷-解析版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《贵州省黔东南州2019届高三下学期第一次模拟考试（理）数学试卷-解析版（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 2019 年贵州省黔东南州高考数学一模试卷（理科）年贵州省黔东南州高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1.表示集合 M 中整数元素的个数，设集合，则 () = |1 0 ，排除 D， (5) = 2532 1 32 = 7 1 32 = 1 5 6 = 30 30 异面直线 OD 与 AB 所成角的余弦值为 30 30 故选：A 推导出 OA，OB，OC 两两垂直，0，由此能求出异面直线 OD 与 AB 所成角的余弦值 = (2, 1) 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解 能力，是
2、中档题 12. 已知函数只有一个零点，且，则 a 的取值范围为 () = 23(6 + 3)2+ 12 + 162( 1() 0 当时， 2 0 又，则， 1 所以函数的真数恒大于 0，由对数函数的图象知，值域为 R () = (1) 故答案为 R 由定义域知，真数大于 0，借助对数的图象得值域为 R () 本题考察了对数函数图象性质，属于简单题 14. 在中，则_ = = + = 【答案】4 【解析】解：因为， = 所以， = 2 = 2( ) 所以， = 2 = 2 所以， = 4 故答案为： 4 由平面向量的基本定理得：，即，即，即，得解， = = 2 = 2( ) = 2 = 2 =
3、4 本题考查了平面向量的基本定理，属简单题 15. 若的展开式中 x 的偶数次幂项的系数之和为，则_ (1)(1)324 = 【答案】5 【解析】解：的展开式中 x 的偶数次幂项的系数之和为 (1)(1)3= (1)(332+ 31) ， 31(1 + 3) = 24 则， = 5 故答案为：5 把按照二项式定理展开，根据的展开式中 x 的偶数次幂项的系数之和为，求得 a 的值 (1)3(1)(1)324 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题 16. 瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形，的三个欧拉点 顶点与垂心连线 ( 的中点 构成的三角
4、形称为的欧拉三角形 如图，是的欧拉三角形为 ) . 111 ( 的垂心 已知，若在内部随机选取一点，则此 ). = 3 = 2 = 2 2 点取自阴影部分的概率为_ 【答案】 7 64 【解析】解：因为，所以， = 2 2 = 1 3 又因为， = 3 = 2 由余弦定理可得：， = 3 取 BC 的中点 O，则， 以 O 为原点，建立如图所示的直角坐标系， 4 则，设， (1,0)(1,0)(0,2 2)(0,) 因为， 所以， 1 2 2 1 = 1 所以，从而， = 2 4 11 = 1 2 1 2 1 2 (2 2 2 4) = 7 2 32 故所求概率为：， 7 2 32 1 2 2
5、 2 2 = 7 64 故答案为： 7 64 由三角函数的余弦定理得：，由两直线垂直得：，所以，从而 = 3 1 2 2 1 = 1 = 2 4 ， 11 = 1 2 1 2 1 2 (2 2 2 4) = 7 2 32 由几何概型中的面积型得：，得解 7 2 32 1 2 2 2 2 = 7 64 本题考查了三角函数的余弦定理及几何概型中的面积型，属中档题 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 已知等比数列的公比为 2，且 2 4+ 2 3= 21 求的通项公式； (1) 若，求数列的前 n 项和 (2) 1 0 1 (21)(21) 【答案】解：等比数列的公比为 2，
6、 (1)2 则：常数 ， 2 2 1= 2( ) 故：， 2 1 = 2 所以：常数 ， 1= 1( ) 且 4+ 2 3= 21 则：， (1+ 3) + (1+ 2)2= 21 解得：或， 1= 2 7 当时， 1= 2= 2 + (1) = + 1 当时， 1= 7= 7 + (1) = 8 由于， (2) 1 0 故：， = + 1 则， 1 (21)(21) = 1 (2 + 1)(21) = 1 2( 1 21 1 2 + 1) 所以： = 1 2(1 1 3 + 1 3 1 5 + + 1 21 1 2 + 1) = 1 2(1 1 2 + 1) = 2 + 1 【解析】直接利用
7、已知条件建立等量关系，求出数列的通项公式 (1) 利用的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和 (2)(1) 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力 和转化能力，属于中档题 18. 如图，在直三棱柱中，点 E，F 分别为 111 = = 4 1= 6 与 AB 的中点 1 证明：平面 (1)/ 11 求与平面 AEF 所成角的正弦值 (2) 1 【答案】解：证明：直三棱柱中， (1) 111 可以以为顶点建立空间坐标系如图， 1 ， = = 4 1= 6 点 E，F 分别为与 AB 的中点， 1 取中点 D， 11 0，2，0， 1
8、(0, 0)(2,0)(2,3) 2， (0,6) 在中， 1111 11 平面， 1 11 为平面的一个法向量， 1 11 而， = (2,2,3) 1 = (2,2,0) ， 1 = 4 + 4 = 0 ， 1 又平面， 11 平面； / 11 易知0，4， (2)(0,6) 1(0, 0) ， = (0,2,0) 1 = (0,2,6) 设是平面 AEF 的一个法向量， = (,) 则， = 2 = 0 ， = 2 + 2 + 3 = 0 5 取，则， = 1 = 0 = 2 3 即， = (1,0,2 3) 设与平面 AEF 所成角为 ， 1 则 = | | = | 1 | | 1|
9、| ， = 4 13 3 40 = 130 65 故 B与平面 AEF 所成角的正弦值为 1 130 65 【解析】建立空间坐标系，利用与平面的法向量垂直可证； (1) 11 找到和平面 AEF 的法向量，代入公式计算即可 (2) 1 此题考查了线面平行，斜线与平面所成角等，难度适中 19. 某大型工厂有 6 台大型机器在 1 个月中，1 台机器至多出现 1 次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的， 出现故障时需 1 名工人进行维修每台机器出现故障的概率为 已知 1 名工人每月只有维修 2 台机器的能力 若有 1 2.( 2 台机器同时出现故障，工厂只有 1 名维修工人，则该工人只能逐台维
10、修，对工厂的正常运行没有任何影响 ， ) 每台机器不出现故障或出现故障时能及时得到维修，就能使该厂获得 10 万元的利润，否则将亏损 2 万元 该工厂 . 每月需支付给每名维修工人 1 万元的工资 若每台机器在当月不出现故障或出现故障时，有工人进行维修 例如：3 台大型机器出现故障，则至少需要 2 (1)( 名维修工人 ，则称工厂能正常运行 若该厂只有 1 名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率； ). 已知该厂现有 2 名维修工人 (2) 记该厂每月获利为 X 万元，求 X 的分布列与数学期望； () 以工厂每月获利的数学期望为决策依据试问该厂是否应再招聘 1 名维修工人？ () 【答案】解
11、：由该工厂只有 1 名维修工人，所以要使工厂能正常运行，最多只能出现 2 台大型机器出现故障 (1) 工厂每月能正常运行的概率 = (11 2) 6 + 1 6 1 2 (11 2) 5 + 2 6 ( 1 2) 2 (11 2) 4 = 11 32 的可能取值为 34，46，58 (2)() ， ( = 34) = (1 2) 6 = 1 64 ( = 46) = 1 6( 1 2) 5 (11 2) = 3 32 ( = 58) = 1 1 64 3 32 = 57 64 即 X 的分布列为： X344658 P 1 64 3 32 57 64 则 () = 34 1 64 + 46 3
12、32 + 58 57 64 = 113 2 若该厂有 3 名维修工人，则该厂获利的数学期望为万元 ()6 103 = 57 ， 113 2 0 1 6 故函数在递减，在递增； () (0,1 ) (1 , + ) ， (2)() = () = + 1 2 2( 0) ， () = 2 + 1 由题意知：，是方程的两个不相等的正实根， 12 () = 0 即，是方程的两个不相等的正实根， 12 2 + 1 = 0 故，解得：， = 24 0 1+ 21 0 12= 1 0 ? 4 () = (1) + (2) = 1 2 2 11+ 1+ 1 2 2 22+ 2 = 1 2(1 + 2)2212(1+ 2) + (12) 是
