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1、江西省宜春市2018-2019学年第一学期期末统考高三年级理科数学一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，集合，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求集合B，然后进行交集的运算即可【详解】因为或，且，故选：A【点睛】本题考查了集合交集的运算，一元二次不等式的解法，属于基础题2.有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计得到了一个卖出热饮杯数与当天气温之间的线性关系，其回归方程为，如果某天气温为，则该小卖部大约能卖出热饮的杯数是A. 140B. 143C. 152D. 156【答案】B【解析】【分析】根据所给的一个热饮杯数与当天气温之
2、间的线性回归方程，代入x=2，求出y即可【详解】根据热饮杯数与当天气温之间的线性回归方程为，某天气温为时，即，则该小卖部大约能卖出热饮的杯数故选：B【点睛】本题考查了线性回归方程的实际应用，属于基础题3.已知为虚数单位，复数满足，则复数等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】故选D4.等差数列的前n项和为，若，则等于（ ）A. 52B. 54C. 56D. 58【答案】A【解析】分析：由题意，根据等差数列的性质先求出，再根据数列中项的性质求出S13的值详解：因为等差数列，且， ，即 又，所以故选A.点睛：本题考查等差数列的性质，熟练掌握性质，且能做到灵活运用是解答的关键5.“直线不
3、相交”是“直线为异面直线”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】异面直线一定不相交，不相交可以平行，所以“直线不相交”是“直线为异面直线”的必要不充分条件，选B.6.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为10，则判断框中的条件是 A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】模拟程序的运行结果，分析满足输出条件继续循环和不满足输出条件退出循环时，变量i值所要满足的要求，可得答案【详解】模拟程序的运行，可得， 满足判断框内的条件，执行循环体，满足判断框内的条件，执行循环体，满足判断框内的条件，执行循环体，满足判断框内的条件，
4、执行循环体，由题意，此时应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为10可得判断框内的条件为？故选：B【点睛】本题考查了条件结构的程序框图，其中模拟运行过程是处理此类问题常用的方法，属于基础题7.非零向量满足：，则与夹角的大小为 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，设=，=，则=，结合题意分析可得OAB为等腰直角三角形，结合向量夹角的定义分析可得答案【详解】根据题意，设=，=，则=，若|=|，即|=|，且，则OAB为等腰直角三角形，则与的夹角为18045=135，故选：A【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是几何方法，从图形判断角的大小.
5、8.一个圆柱被一个平面截成体积相等的两部分几何体，如图所示，其中一部分几何体的主视图为等腰直角三角形，俯视图是直径为2的圆，则该圆柱外接球的表面积是A. 8B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出圆柱体的外接球的半径，再利用球的表面积公式即可得答案【详解】根据几何体的三视图还原为圆柱体的一半，如图所示，因为几何体的主视图为等腰直角三角形，俯视图是直径为2的圆，故圆柱的外接球的半径为：，所以球的表面积为：故选：C【点睛】本题考查了三视图还原为圆柱体的一半，圆柱体外接球的表面积公式的应用，属于基础题9.如图，在圆心角为直角的扇形OAB区域中，M、N分别为OA、OB的中点，在M、N两点处各
6、有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以OA、OB为直径的圆，在扇形OAB内随机取一点，则此点无信号的概率是A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：OA的中点是M，则CMO=90，这样就可以求出弧OC与弦OC围成的弓形的面积，从而可求出两个圆的弧OC围成的阴影部分的面积，用扇形OAB的面积减去三角形的面积，减去加上两个弧OC围成的面积就是无信号部分的面积，最后根据几何概型的概率公式解之即可解：OA的中点是M，则CMO=90，半径为OA=rS扇形OAB=r2，S半圆OAC=（）2=r2，SOmC=r2，S弧OC=S半圆OACSODC=r2r2，两个圆的弧OC围成的阴影部分的面积为r2
7、r2，图中无信号部分的面积为r2r2（r2r2）=r2r2，无信号部分的概率是：故选：B考点：几何概型10.已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若对任意恒成立，则的取值范围A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意得函数的周期为，由此求得=3，由转化为sin（3x+）0对任意x恒成立，求得的取值范围【详解】函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若对任意恒成立，转化为恒成立.因为，所以 ，且，求得.故选：A【点睛】本题考查了正弦函数的图象和性质，函数恒成立的问题，属于中档题11.曲线的左、右焦点分别为，以为圆心，为半径作，若点关于直线的对称点M落在上，则该双曲线的离心率为
8、A. 3B. C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】圆心和半径c，设M（m，n）是F2（c，0）关于直线的对称点，得MF2的中点在直线上，且，解得M的坐标，再由|F1M|c，结合a，b，c的关系和离心率公式，计算可得所求值【详解】由题意得的圆心为，半径为c.设M（m，n）是F2（c，0）关于直线的对称点，结合对称思想，得MF2的中点在直线且，列方程得 ， ，解得，又因为M落在上，所以，结合，化简可得，则故选：C【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，考查点关于直线的对称点的问题，以及化简运算能力，属于中档题12.长方体中，E是的中点，设过点E、F、K的平面与平面ABCD的交线为，则直线与直线所成
9、角的正切值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】延长KE，交CD延长线于点M，延长KF，交CB延长线于点N，连结MN，则MN是过点E、F、K的平面与平面ABCD的交线，由A1D1CN，得MNC是直线与直线A1D1所成角（或所成角的补角），由此能求出直线与直线A1D1所成角的正切值【详解】延长KE，交CD延长线于点M，延长KF，交CB延长线于点N，连结MN，则MN是过点E、F、K的平面与平面ABCD的交线，是直线与直线所成角或所成角的补角，设，是的中点，即，解得，直线与直线所成角的正切值为4故选：D【点睛】本题考查异面直线所成角的正切值，平面与平面交线的问题，考查数形结合思
10、想，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若变量，满足约束条件，则的取值范围是_【答案】.【解析】【分析】首先绘制可行域，然后结合目标函数的几何意义求解取值范围即可.【详解】绘制不等式组表示的可行域如图所示，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点处取得最大值，在点处取得最小值，综上可得，目标函数的取值范围是.【点睛】求线性目标函数zaxby(ab0)的最值，当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.14.要将甲、乙、丙、丁四位老师分配到A、B、C、D四
11、个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A班，则共有分配方案的种数为_【答案】18【解析】【分析】根据题意，分2步进行：，先安排甲，甲可以分到B、C、D班，易得甲的分配方法数目，将乙、丙、丁全排列，分配到剩下的三个班级，由分步计数原理计算可得答案【详解】根据题意，分2步进行：，先安排甲，由于甲不能分配到A班，则甲可以分到B、C、D班，有3种情况，将乙、丙、丁全排列，分配到剩下的三个班级，有种情况，则一共有种分配方案；故答案为：18【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，注意优先分析受到限制的元素，属于基础题.15.已知函数，则的解集为_.【答案】【解析】【分析】原不等式等价于
12、或，分别求解不等式组，再求并集即可.【详解】 ，当时，解得；当时，解得，综上，即的解集为，故答案为.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.16.已知函数的图象与直线恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为，则_【答案】.【解析】【分析】由已知条件得到图像，运用导数和三角函数进行求解【详解】如图所示，易知，则又直线与相切于点则则故答案为【点睛】本题主要考查了三角函数的图象，导数的几何意义，三角函数求值，考查化归与转化思想，数形结合思
13、想和运算求解能力，属于中档题目。三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知等差数列的前项和为，且，.（1）求与；（2）设数列满足，求的前项和.【答案】（1）, （2） 【解析】【分析】（1）由和，可求出和，然后利用等差数列的性质可求出与；（2）由（1）知，可得，利用裂项相消的求和方法，可求出的前项和.【详解】解：（1）设等差数列公差为，故，故，易得， （2）由（1）知，则，则 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及前项和公式，考查了裂项相消的求和方法，考查了学生的计算能力，属于基础题。18.已知函数若 的三个内角A、B、C的对边分别为a、b，c，锐角A满足，求A的值；在的条件下，若的
14、外接圆半径为1，求的面积S的最大值【答案】（1）；（2）。【解析】【分析】（1）利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简，然后代入求值即可（2）根据正弦定理求出a，根据余弦定理结合基本不等式以及三角形的面积公式进行求解即可【详解】，又A为锐角，（2）因为的外接圆半径为1，由正弦定理得，得，由余弦定理得，即，时取等号，即则三角形的面积所以三角形面积最大值为【点睛】本题考查三角函数的恒等变换和辅助角公式进行化简，以及正，余弦定理的结合，也考查了三角形的面积公式和基本不等式的性质，属于中档题19.如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面， .（1）证明：；（2）若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析；(2) 【解析】试题分析：（1）取的中点为，连接，由正三角形性质得，由矩形的性质得，根据线面垂直的判定定理可得平面，从而可得结论；（2）的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求出平面的法向量
