《湖南省长沙市2019届高三上学期第一次适应性考试（一模）数学（文）试题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖南省长沙市2019届高三上学期第一次适应性考试（一模）数学（文）试题（解析版）（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 长郡中学长郡中学 20192019 届第一次适应性考试届第一次适应性考试 数学（文科）试题数学（文科）试题 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. . 1.设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用复数是纯虚数求出，化简为，问题得解。 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得：， 所以复数可化为， 所以复数在复
2、面上对应的点的坐标为. 故选：D 【点睛】本题主要考查了复数的有关概念及复数对应点的知识，属于基础题。 2.已知集合若，则实数的取值范围 为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 分别求出集合 A,B，利用列不等式即可求解。 【详解】由得：或. 所以集合. 由得：. 又，所以（舍去）或. 2 故选：B 【点睛】本题主要考查了集合的包含关系及对数函数的性质，考查计算能力，属于基础题。 3.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如 11，323，4334 等.在所有小于 150 的三位回文 数中任取两个数，则两个回文数的三位数字之和均大于 3 的概率为（ ） A.
3、 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 列出所有小于 150 的三位回文数，从中选取两个得到基本事件总数，再从中找出两个回文数的三位数字之和 均大于 3 的个数即可求解。 【详解】列出所有小于 150 的三位回文数如下：101,111,121,131,141. 从中任取两个数共有 10 种情况如下：（101,111） ， （101, 121） ， （101, 131） ， （101, 141） ， （111, 121） ， （111, 131） ， （111, 141） ， （121,131） ， （121,141） ， （131,141）. 两个回文数的三位数字之和均大于 3 的
4、有：（121,131） ， （121,141） ， （131,141）共 3 种情况. 两个回文数的三位数字之和均大于 3 的概率为：. 故选：C 【点睛】本题主要考查了古典概型概率计算，还考查了新概念知识，属于基础题。 4.已知 为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，若右支上有点满是 ，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设，在及中利用余弦定理，分别表示出.再利用双曲线定义列方程即可求 解。 3 【详解】设， 由题可得：, 在中，由余弦定理可得：，整理得：. 在中，由余弦定理可得：，整理得：. 由双曲线定义得：，即：.整理得：. 故选:A 【点睛
5、】本题主要考查了余弦定理及双曲线定义，属于基础题。 5.长郡中学某次高三文数周测，张老师宣布这次考试的前五名是：邓清、武琳、三喜、建业、梅红，然后让 五人分别猜彼此名次 邓清：三喜第二，建业第三； 武琳：梅红第二，邓清第四； 三喜：邓清第一，武琳第五； 建业：梅红第三，武琳第四； 梅红：建业第二，三喜第五 张老师说：每人的两句话都是一真一假 已知张老帅的话是真的，则五个人从一到五的排名次序为（ ） A. 邓清、武琳、三喜、建业、梅红B. 邓清、梅红、建业、武琳、三喜 C. 三喜、邓清、武琳、梅红、建业D. 梅红、邓清、建业、武琳、三喜 【答案】B 【解析】 【分析】 对邓清说的话一真一假分类逐
6、一分析即可得到答案. 【详解】假设邓清说话中：三喜第二为真，建业第三为假. 则：梅红说话中：建业第二为真，三喜第五为假. 这与邓清说话中：三喜第二为真，建业第三为假矛盾. 所以邓清说话中：三喜第二为假，建业第三为真. 则：梅红说话中：建业第二为假，三喜第五为真. 则：三喜说话中：邓清第一为真，武琳第五为假 则：武琳说话中：梅红第二为真，邓清第四为假. 则：建业说话中：梅红第三为假，武琳第四为真. 4 故选：B 【点睛】本题主要考查了逻辑推理及分类讨论思想，属于基础题。 6.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的的值满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由程序框图
7、逐一执行即可求解。 【详解】，, 由程序框图逐一执行得： . . 不满足. . . 不满足. . . 不满足. . . 满足. 故. 故选：B 5 【点睛】本题主要考查了程序框图知识及裂项求和方法，还考查计算能力.属于基础题。 7.已知在等比数列中，则的个位数字是（ ） A. B. 7C. 8D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】 由求得，由求得，即可求得，列出， 即可发现它们的个位数字是以 4 为周期重复出现的，问题得解。 【详解】设等比数列的公比为 ，首项为 由得：. 解得：.即：， 由得：，所以，所以， 所以：， 由此可得的个位数是以 4 为周期重复出现的. 所以的个位数字是的个位数字
8、，即的个位数字是：9. 故选：D 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式，还考查了周期性，属于基础题。 8.函数某相邻两支图象与坐标轴分别变于点，则方程 所有解的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用函数某相邻两支图象与坐标轴分别交于两点可求得，从而得到， 求出函数及的对称点，从而发现它们都关于点对称，在同一坐标系中，作出 与的图像，结合图像即可求解。 6 【详解】由函数某相邻两支图象与坐标轴分别交于两点，可得： .解得：. 所以 将代入上式得：=0，解得：=， 又，所以. 所以. 令=，则 所以的图像关于点对称。 令，且=， 解得：. 所以的图像关于
9、点对称. 所以函数与的图像关于点对称. 在同一坐标系中，作出与的图像，如图： 由图可得：函数与的图像在上有两个交点，这两个交点关于点 对称. 所以方程有且只有两个零点，且 . 所以方程所有解的和为：. 7 故选：A. 【点睛】本题主要考查了三角函数图像以及三角函数性质，考查了转化思想及方程思想，考查计算能力，属 于中档题。 9.已知某长方体的三视图如图所示，在该长方体的一组相对侧面上取三点，其中 为侧面的对角线 上一点(与对角线端点不重合)，为侧面 的一条对角线的两个端点.若以线段为直径的圆过点 ，则 的最小值为（ ） A. 4B. C. 2D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据长方体的三
10、视图知该长方体的底面是正方形，高为 m，画出图形结合图形求出 AB 的最小值为 4，利用 直角三角形求出 m 的最小值 【详解】解：根据长方体的三视图知，该长方体的底面是边长为 2 的正方形，且高为 m，如图所示； 由题意知，AB 为圆 O 的直径，则 AB 的最小值为 2OP4， 此时ABC 为直角三角形，m 的最小值为2 故选：D 【点睛】本题主要考查了空间思维及转化能力，考查三视图知识，属于基础题。 10.已知抛物线的焦点为 ，其准线与 轴交于点 ，过点 作直线交抛物线 于两点，若 且，则 的值为（ ） A. 1B. 2C. 4D. 8 8 【答案】B 【解析】 【分析】 假设 存在，设
11、直线 AB 的方程为：，代入抛物线方程，可得根与系数的关系，由可 求得，再利用即可求解。 【详解】当 不存在时，直线与抛物线不会交于两点。 当 存在时，设直线 AB 的方程为：， 则有：， 联立直线与抛物线方程得：，整理得：， 所以，所以， ， 又，所以， 整理得：，即：.解得： 因为，所以 又，代入得：. 解得： 故选：B 【点睛】本题主要考查了韦达定理及向量垂直的坐标关系，考查方程思想及抛物线定义，考查计算能力及转 化能力，属于中档题。 9 11.小明站在点 观察练车场上匀速行驶的小车 的运动情况，小车从点 出发的运动轨如图所示.设小明从点 开始随动点 变化的视角为，练车时间为 ，则函数的
12、图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 过点 O 作曲线的切线，切点为 B,E，再过点 O 作一直线 CD 与曲线部分重合，如图， 从图像分析即可得到选项。 【详解】过点 O 作曲线的切线，切点为 B,E，再过点 O 作一直线 CD 与曲线部分重合，如图， 当小明从点 行驶到点 B 时，递增， 当小明从点 行驶到点 C 时，递减， 当小明从点 C 行驶到点 D 时， 为常数， 当小明从点 D 行驶到点 E 时，递减， 10 当小明从点 E 行驶到点 P 时，递增， 故选：D 【点睛】本题主要考查了图像特征，考查了分析能力及转化能力，属于基础题。 12.定义，已
13、知为函数的两个零点，若存在整数n满足 ，则的值（ ） A. 一定大于B. 一定小于C. 一定等于D. 一定小于 【答案】D 【解析】 【分析】 由为函数的两个零点可得：，.令，得到.即： ，将变形为，从而可得.问题得解。 【详解】由题可得：. 又为函数的两个零点， 所以，. 将函数图像往上平移时，开口大小保持不变，如图 当函数图像往上平移时，变大， 即：当时，越大， 又由二次函数的对称性得：当时，最大 令，则：，就是。 又 11 = 由已知得，所以一定小于 ， 所以一定小于 . 故选：D 【点睛】本题主要考查了韦达定理及方程与函数关系，考查了计算能力及转化能力，属于中档题。 第第卷（共卷（共
14、9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.在平行四边形中，点 是的中点，点 是的中点，记，用 ， 表示，则 _ 【答案】 【解析】 【分析】 利用向量的加减法及数乘运算转化求解。 【详解】 =. 又，. 解得： 【点睛】本题主要考查了向量的加减运算、数乘运算，考查转化能力，属于基础题。 14.太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物；从道袍、卦 摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽，太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图， 其形状如阴阳两鱼
15、互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区 域可用小等式组或来表示，设是阴影中任意一点，则的最大 值为_. 12 【答案】 【解析】 【分析】 直接利用线性规划知识求最值。 【详解】如图，作出直线 ：， 当直线 往上平移至与阴影部分的圆的边界相切时， 最大， 此时圆心到直线的距离等于半径 1，即： . 解得： 【点睛】本题主要考查了线性规划知识，考查转化能力及直线与圆相切的几何关系，属于基础题。 15.已知圆，圆圆与圆相切，并且两圆的 一条外公切线的斜率为 7，则为_. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意作出如下图形： 由圆方程求出圆心连线斜率为：，计算
16、出圆心距， 13 再利用外公切线的斜率为 7 求出圆心连线与公切线的夹角，从而在直角三角形中列方程求得， 联立方程即可求出，问题得解。 【详解】根据题意作出如下图形： AB 为两圆的公切线，切点分别为 A,B. 当公切线 AB 与直线平行时，公切线 AB 斜率不为 7，即 不妨设 过作 AB 的平行线交于点 E，则：，且 , 直线的斜率为：， 所以直线 AB 与直线的夹角正切为：. 在直角三角形中，所以， 又,整理得：， 解得：，又，解得：， 所以=. 【点睛】本题主要考查了圆的公切线特点及两直线夹角公式，还考查了解三角形知识及计算能力、方程思想， 属于中档题。 16.在中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若，则 ， ， 必须满足 _ 14 【答案】 【解析】 【分析】 由整理得：，从而可判断，利用余弦定理得， 整理得：，再利用不等式的性质即可得解。 【详解】因为, 所以, 整理得：,所以,即 边最大， 又，所以，整理得：. 所以， 又， 所
