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1、1 江西省宜春市江西省宜春市 2018-20192018-2019 学年第一学期期末统考高三年级理科数学学年第一学期期末统考高三年级理科数学 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，共小题，共 60.060.0 分）分） 1.已知集合，集合，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求集合 B，然后进行交集的运算即可 【详解】因为或，且， 故选：A 【点睛】本题考查了集合交集的运算，一元二次不等式的解法，属于基础题 2.有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计得到了一个卖出热饮杯数 与当天气温之间的线性关系，其回归方程为，如果某
2、天气温为，则该小卖部大约能卖出 热饮的杯数是 A. 140B. 143C. 152D. 156 【答案】B 【解析】 【分析】 根据所给的一个热饮杯数与当天气温之间的线性回归方程，代入 x=2，求出 y 即可 【详解】根据热饮杯数与当天气温之间的线性回归方程为，某天气温为时，即，则 该小卖部大约能卖出热饮的杯数 故选：B 【点睛】本题考查了线性回归方程的实际应用，属于基础题 3.已知 为虚数单位，复数 满足，则复数 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 故选 D 2 4.等差数列的前 n 项和为，若，则等于（ ） A. 52B. 54C. 56D. 58 【答案】A 【解析
3、】 分析：由题意，根据等差数列的性质先求出，再根据数列中项的性质求出 S13的值 详解：因为等差数列，且， ，即 又， 所以 故选 A. 点睛：本题考查等差数列的性质，熟练掌握性质，且能做到灵活运用是解答的关键 5.“直线不相交”是“直线为异面直线”的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 异面直线一定不相交，不相交可以平行，所以“直线不相交”是“直线为异面直线”的必要不充分条 件，选 B. 6.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 10，则判断框中的条件是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 3 【分析】
4、模拟程序的运行结果，分析满足输出条件继续循环和不满足输出条件退出循环时，变量 i 值所要满足的要求， 可得答案 【详解】模拟程序的运行，可得， 满足判断框内的条件，执行循环体， 满足判断框内的条件，执行循环体， 满足判断框内的条件，执行循环体， 满足判断框内的条件，执行循环体， 由题意，此时应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出 S 的值为 10 可得判断框内的条件为？ 故选：B 【点睛】本题考查了条件结构的程序框图，其中模拟运行过程是处理此类问题常用的方法，属于基础题 7.非零向量满足：，则与 夹角的大小为 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，设 =，
5、 =，则 =，结合题意分析可得OAB 为等腰直角三角形，结合向量 夹角的定义分析可得答案 【详解】 根据题意，设 =， =，则 =， 若|=| |，即|=|，且， 则OAB 为等腰直角三角形， 则与 的夹角为 18045=135， 故选：A 4 【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是 几何方法，从图形判断角的大小. 8.一个圆柱被一个平面截成体积相等的两部分几何体，如图所示，其中一部分几何体的主视图为等腰直角 三角形，俯视图是直径为 2 的圆，则该圆柱外接球的表面积是 A. 8B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出圆柱体的外接球的半径，再利用球的表面积公
6、式即可得答案 【详解】根据几何体的三视图还原为圆柱体的一半，如图所示，因为几何体的主视图为等腰直角三角形，俯 视图是直径为 2 的圆，故圆柱的外接球的半径为：，所以球的表面积为： 故选：C 【点睛】本题考查了三视图还原为圆柱体的一半，圆柱体外接球的表面积公式的应用，属于基础题 9.如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 区域中，M、N 分别为 OA、OB 的中点，在 M、N 两点处各有一个通信 基站，其信号的覆盖范围分别为以 OA、OB 为直径的圆，在扇形 OAB 内随机取一点，则此点无信号的概率 是 5 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析：OA 的中点是 M，则CMO=90，
7、这样就可以求出弧 OC 与弦 OC 围成的弓形的面积，从而可求 出两个圆的弧 OC 围成的阴影部分的面积，用扇形 OAB 的面积减去三角形的面积，减去加上两个弧 OC 围 成的面积就是无信号部分的面积，最后根据几何概型的概率公式解之即可 解：OA 的中点是 M，则CMO=90，半径为 OA=r S扇形 OAB= r2，S半圆 OAC= （ ）2= r2， SOmC= = r2， S弧 OC= S半圆 OACSODC=r2 r2， 两个圆的弧 OC 围成的阴影部分的面积为 r2 r2， 图中无信号部分的面积为 r2 r2（ r2 r2）= r2 r2， 无信号部分的概率是： 故选：B 考点：几何
8、概型 10.已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若 对任意恒成立，则 的取值范围 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意得函数的周期为，由此求得 =3，由转化为 sin（3x+）0 对任意 x恒成立， 6 求得 的取值范围 【详解】函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为， ， 若对任意恒成立，转化为恒成立. 因为，所以 ，且， ，求得. 故选：A 【点睛】本题考查了正弦函数的图象和性质，函数恒成立的问题，属于中档题 11.曲线的左、右焦点分别为，以为圆心，为半径作，若点关于 直线的对称点 M 落在上，则该双曲线的离心率为 A. 3B. C. 2D. 【答案】C
9、【解析】 【分析】 圆心和半径 c，设 M（m，n）是 F2（c，0）关于直线的对称点，得 MF2的中点在直线 上，且，解得 M 的坐标，再由|F1M|c，结合 a，b，c 的关系和离心率公式，计 算可得所求值 【详解】由题意得的圆心为，半径为 c.设 M（m，n）是 F2（c，0）关于直线的对称 点，结合对称思想，得 MF2的中点在直线且，列方程得 ， ，解得，又因为 M 落在上，所以 ，结合，化简可得， 则 故选：C 7 【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，考查点关于直线的对称点的问题，以及化简运算能力，属于中档 题 12.长方体中，E 是的中点，设过点 E、F、K 的平 面与平面 ABC
10、D 的交线为 ，则直线 与直线所成角的正切值为 A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】 延长 KE，交 CD 延长线于点 M，延长 KF，交 CB 延长线于点 N，连结 MN，则 MN 是过点 E、F、K 的平面与平面 ABCD 的交线 ，由 A1D1CN，得MNC 是直线 与直线 A1D1所成角（或所成角的补角） ，由此能求出直线 与直 线 A1D1所成角的正切值 【详解】延长 KE，交 CD 延长线于点 M，延长 KF，交 CB 延长线于点 N，连结 MN，则 MN 是过点 E、F、K 的平 面与平面 ABCD 的交线 ，是直线 与直线所成角 或所成角的补角 ，设
11、 ，是的中点， ，即，解得， 直线 与直线所成角的正切值为 4 故选：D 8 【点睛】本题考查异面直线所成角的正切值，平面与平面交线的问题，考查数形结合思想，属于中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 20.020.0 分）分） 13.若变量 ， 满足约束条件，则的取值范围是_ 【答案】. 【解析】 【分析】 首先绘制可行域，然后结合目标函数的几何意义求解取值范围即可. 【详解】绘制不等式组表示的可行域如图所示， 结合目标函数的几何意义可得目标函数在点处取得最大值， 在点处取得最小值， 综上可得，目标函数的取值范围是. 【点睛】求线性目标函数 zaxby(a
12、b0)的最值，当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值 最大，在 y 轴截距最小时，z 值最小；当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最小，在 y 轴 上截距最小时，z 值最大. 9 14.要将甲、乙、丙、丁四位老师分配到 A、B、C、D 四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到 A 班， 则共有分配方案的种数为_ 【答案】18 【解析】 【分析】 根据题意，分 2 步进行：，先安排甲，甲可以分到 B、C、D 班，易得甲的分配方法数目，将乙、丙、 丁全排列，分配到剩下的三个班级，由分步计数原理计算可得答案 【详解】根据题意，分 2 步进行： ，先安排甲，
13、由于甲不能分配到 A 班，则甲可以分到 B、C、D 班，有 3 种情况， ，将乙、丙、丁全排列，分配到剩下的三个班级，有种情况， 则一共有种分配方案； 故答案为：18 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，注意优先分析受到限制的元素，属于基础 题. 15.已知函数，则的解集为_. 【答案】 【解析】 【分析】 原不等式等价于或，分别求解不等式组，再求并集即可. 【详解】 ， 当时，解得； 当时，解得， 综上，即的解集为，故答案为. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是 命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象
14、思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚， 思路清晰. 16.已知函数的图象与直线恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别 为，则_ 10 【答案】 . 【解析】 【分析】 由已知条件得到图像，运用导数和三角函数进行求解 【详解】 如图所示，易知， 则 又直线与相切于点 则 则 故答案为 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象，导数的几何意义，三角函数求值，考查化归与转化思想，数形结 合思想和运算求解能力，属于中档题目。 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 70.070.0 分）分） 17.已知等差数列的前 项和为，且，. （1）求与； （2）设数列满足，
15、求的前 项和. 【答案】 （1）, （2） 【解析】 【分析】 （1）由和，可求出和，然后利用等差数列的性质可求出与；（2） 11 由（1）知，可得，利用裂项相消的求和方法，可求出的前 项和. 【详解】解：（1）设等差数列公差为 ，故， ，故， ， 易得， （2）由（1）知，则， 则 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及前 项和公式，考查了裂项相消的求和方法，考查了学生的计算 能力，属于基础题。 18.已知函数 若 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b，c，锐角 A 满足，求 A 的值； 在的条件下，若的外接圆半径为 1，求的面积 S 的最大值 【答案】 （1）；（2）。 【解析】 【分析】 （1）利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简，然后代入求值即可 （2）根据正弦定理求出 a，根据余弦定理结合基本不等式以及三角形的面积公式进行求解即可 【详解】， ，又 A 为锐角， （2）因为的外接圆半径为 1，由正弦定理得，得，由余 弦定理得，即，时取等号 ，即则三角形的 面积 所以三角形面积最大值为 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换和辅助角公式进行化简，以及正，余弦定理的结合，也考查了三角形 12 的面积公式和基本不等式的性质，属于中档题 19.如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面， . （1）证明：； （2）若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值. 【
