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1、北京市朝阳外国语学校2017-2018学年度第二学期期中考试高一年级数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知等差数列满足，则的值是（ ）ABCD2函数的图象向左平移得到的函数的图象，则的解析式是（ ）ABCD3向量，向量，若向量，且，则的值为（ ）ABCD4某正方体的外接球体积，则此正方体的棱长为（ ）ABCD5函数，递增数列满足，则的范围是（ ）ABCD6某棱锥的三视图如图，已知其俯视图为边长为的等腰直角三角形，则其体积为（ ）ABCD7数列对任意大于等于正整数，都满足，且，则的中是（ ）ABCD8正方体中，是线段的
2、中点，为正方体棱上的动点（不与，重合），则满足的点的个数是（ ）ABCD二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9已知实数为和的等比中项，为和的等差中项，则的值为_10正方体中，直线与直线所成的角的度数为_11已知，是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列说法正确的是_（填序号）若，则；若，则若，则；若，则12数列的通项公式，则中最大项的值是_13在中，为中点，在线段上，且，则的值是_14边长为的等边绕顺时针旋转，得到；绕顺时针旋转，得到；如此重复下去，得到一系列三角形（如图）记，则数列的前项和为_三、解答题（本大题共6个小题，15，16，17，18题每题13分，19，20题每题
3、14分，共80分）15已知函数（）求的最小正周期（）求在上的单调递增区间16已知中，的对边分别为，且，（）若，求（）若的面积为，求的值17已知数列满足，且对任意且，都有（）求证：数列等比数列（）数列满足，记，求的表达式18如图，四棱锥，底面四边形是菱形，为侧棱中点，平面交侧棱于（）若平面，求证：（）求证：平面（）试在平面内找一点，使得平面（写出作图方法即可，无需说明理由）19如图，四边形是边长为的正方形，是正三角形，且平面平面，为中点（）求直线与平面所成角的正弦值（）求平面与平面所成锐角二面角的余弦值（）在线段上是否存在点，使得，若存在求的值，若不存在请说明理由20已知有限数列共项，其中每一项
4、都是集合中互不相同的元素（，）且数列满足：只要存在，使，总存在有（）当，时，若，求和（）当，时，若，且，则，有多少组不同的值（）证明：北京市朝阳外国语学校2016-2017学年度第二学期期中考试高一年级数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知等差数列满足，则的值是（ ）ABCD【答案】A【解析】为等差数列，2函数的图象向左平移得到的函数的图象，则的解析式是（ ）ABCD【答案】B【解析】向左平移得到，（诱导公式）3向量，向量，若向量，且，则的值为（ ）ABCD【答案】B【解析】且，由得，4某正方体的外接球体积，则此正方
5、体的棱长为（ ）ABCD【答案】D【解析】外接球体积为，设半径为，则，又正方体的外接球直径为其体对角线，设正方体的棱长为，则有，即5函数，递增数列满足，则的范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】，为递增数列，6某棱锥的三视图如图，已知其俯视图为边长为的等腰直角三角形，则其体积为（ ）ABCD【答案】B【解析】由三视图可知该几何体为四棱锥，底面为的正方形，高为，7数列对任意大于等于正整数，都满足，且，则的中是（ ）ABCD【答案】D【解析】，可写为，时，8正方体中，是线段的中点，为正方体棱上的动点（不与，重合），则满足的点的个数是（ ）ABCD【答案】C【解析】如图所示，共个二、填空题（本大题共
6、6个小题，每小题5分，共30分）9已知实数为和的等比中项，为和的等差中项，则的值为_【答案】或【解析】由题意可得：，或10正方体中，直线与直线所成的角的度数为_【答案】【解析】建系，为11已知，是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列说法正确的是_（填序号）若，则；若，则若，则；若，则【答案】【解析】中与可以异面，中与可以相交或平行12数列的通项公式，则中最大项的值是_【答案】【解析】设第几项为最大项，则，即，解得，13在中，为中点，在线段上，且，则的值是_【答案】【解析】如图所示在中，14边长为的等边绕顺时针旋转，得到；绕顺时针旋转，得到；如此重复下去，得到一系列三角形（如图）记，则数列的
7、前项和为_【答案】【解析】建系，以为坐标原点，方向为轴，则点的横坐标为，纵坐标为，三、解答题（本大题共6个小题，15，16，17，18题每题13分，19，20题每题14分，共80分）15已知函数（）求的最小正周期（）求在上的单调递增区间【答案】（）；（）和【解析】（）最小正周期（）由（）知，当，时为增，即，当时，在上有单增区间，当时，在上有单增区间在上的单增区间为和16已知中，的对边分别为，且，（）若，求（）若的面积为，求的值【答案】（）；（）【解析】（），由正弦定理得即，（），再由余弦定理得，17已知数列满足，且对任意且，都有（）求证：数列等比数列（）数列满足，记，求的表达式【答案】（）略；
8、（）【解析】（）证明：时，即，为等比数列（）由（）知，又，18如图，四棱锥，底面四边形是菱形，为侧棱中点，平面交侧棱于（）若平面，求证：（）求证：平面（）试在平面内找一点，使得平面（写出作图方法即可，无需说明理由）【答案】（）略；（）略；（）取中点，可使平面【解析】（）证明：连接，平面，平面，底面为菱形，平面，平面，平面，（）证明：，平面，平面，平面，平面平面，又平面，平面，平面（）取中点，连接，可得平面19如图，四边形是边长为的正方形，是正三角形，且平面平面，为中点（）求直线与平面所成角的正弦值（）求平面与平面所成锐角二面角的余弦值（）在线段上是否存在点，使得，若存在求的值，若不存在请说明理
9、由【答案】（）；（）；（）【解析】为中点，为等边三角形，四边形为正方形，平面平面，可建如图所示空间直角坐标系（），设平面的法向量为，则，令，则，设直线与平面所成角为，则（），设平面的法向量为，则，令则，设平面与平面所成锐二面角为，则（）设，则，当时，即，即20已知有限数列共项，其中每一项都是集合中互不相同的元素（，）且数列满足：只要存在，使，总存在有（）当，时，若，求和（）当，时，若，且，则，有多少组不同的值（）证明：【答案】（），或，（）组（）证明见解析【解析】（），数列中必有，或，（）由题意可知，中必有当，时，共种，当时，会使不成立，时，有唯一对应的值，共种；时，数列中会出现，不成立；时，共种，时，共种；，时，共种综上，共有组不同的值（）证明：不妨设当为偶数时，数列可配对为，只需证每一对和数都不小于即可用反证法，假设存在，使，数列单调递增，存在，使得，显然，只有个不同取值，而有个不同取值，矛盾，每一对和数都不小于，即当为有数时亦然，
