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1、浅议函数的奇偶性王店中学 彭衍军内容摘要：本文主要探讨函数的奇偶性的定义、性质及其判断、函数按奇偶性的分类，奇偶函数的图像特征以及函数奇偶性的应用等方面内容。关 键 词：奇函数 偶函数 函数的奇偶性 对称数集函数的奇偶性是函数的重要性质之一，也是每年高考的重点和热点内容之一。它在代数，三角函数以及高等数学中有着广泛的应用。一、关于函数的奇偶性的定义高中代数新教材（上册）（以下称教材）第61页，定义如下：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就称偶函数；一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就称奇函数；定义说明：上述定义可等价地叙述为：对于函数的定义域内任意一个：
2、 是偶函数；奇函数；理解定义是应用概念的前提，在教学中应注意引导学生认识以下两点：、定义中要求“对于函数的定义域内任意一个，都有”成立，可见必有意义，即 也属于的定义域，即自变量的取值要保持任意性。于是有，奇（偶）函数的定义域是一个对称数集（在数轴上表示为关于原点对称的点集）。如果将教材中函数，的定义域分别改为与，学生能很快判断出它们为非奇非偶函数。也就是说：若一个函数的定义域不对称，则此函数不是奇（偶）函数，所以说，函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。、定义中的等式（或）是定义域上的恒等式，而不是对部分成立。如：函数 尽管当时，都有,但它并是非偶函数。二、函数的奇偶
3、性的几个性质、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；、可逆性： 是偶函数；奇函数；、等价性：、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。三、函数的奇偶性的判断 由前面可知，函数奇偶性的因素有两个：定义域的对称性和数量关系。判断函数奇偶性就是判断函数是否为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四种情况。判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查是否与、 相等，判断步骤如下：定义域
4、是否关于原点对称；数量关系哪个成立；（ 、分别是函数具有奇偶性的两个必要条件，若两个条件同时成立，联袂作用，使成为充要条件。）具体步骤如下：若定义域不对称，则为非奇非偶函数；若定义域对称，则有成为奇（偶）函数的可能，到底怎样，取决于数量关系怎样成立？若成立，则为偶函数；若成立，则为奇函数；若成立，则为既是奇函数也是偶函数；若都不成立，则为非奇非偶函数。例1：判断下列各函数是否具有奇偶性 、（教材） 、 （教材）、 、 、 、解：为奇函数 为偶函数 为非奇非偶函数 为非奇非偶函数 为非奇非偶函数 既是奇函数也是偶函数注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。例2：判断函数的奇偶性学生解答：的定
5、义域是，当时，有是偶函数。其实上速的解答是不完整的，事实上，且既是奇函数也是偶函数。由此例题说明：若的定义域是对称数集且表达式较复杂，在能化简时后再按定义进行判断。例3：判断函数的奇偶性学生解答：的定义域是，当时，有 且为非奇非偶函数，由而断言且太草率了，事实上， 为奇函数这个错误的做法，告诉我们，当的表达式较为复杂且不易化简时，直接判断并不容易，怎么办？2、由此例题说明：若的定义域是关于对称数集，若用定义判断较难不易化简时，可等价地验证或当时，验证是否成立？如例2：我们有： 为奇函数在三角函数中更能体现前面所提到的两点。例如：判断的奇偶性有两条途径。（1）化简得到后知其为奇函数；（2）时，易
6、得，从而为奇函数。例4：判断函数的奇偶性。 第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。命题1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。命题2 两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。此命题错误。
7、一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如f(x)=x(x-1,1),g(x)=x(x-2,2)，可以看出函数f(x)与g(x)都是定义域上的函数，它们的差只在区间-1，1上有定义且f(x)-g(x)=0，而在此区间上函数f(x)-g(x)既是奇函数又是偶函数。命题3 f(x)是任意函数，那么|f(x)|与f(|x|)都是偶函数。此命题错误。一方面，对于函数|f(x)|=不能保证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)；另一方面，对于一个任意函数f(x)而言，不能保证它的定义域关于原点对称。如果
8、所给函数的定义域关于原点对称，那么函数f(|x|)是偶函数。命题4 如果函数f(x)满足：|f(x)|=|f(-x)|，那么函数f(x)是奇函数或偶函数。此命题错误。如函数f(x)= 从图像上看，f(x)的图像既不关于原点对称，也不关于y轴对称，故此函数非奇非偶。命题5 函数f(x)+f(-x)是偶函数，函数f(x)-f(-x)是奇函数。此命题正确。由函数奇偶性易证。命题6 已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。此命题正确。由奇函数的定义易证。命题7 已知f(x)是奇函数或偶函数，方程f(x)=0有实根，那么方程f(x)=0的所有实根之和为零；若f(x)是定义在实数集上的
9、奇函数，则方程f(x)=0有奇数个实根。此命题正确。方程f(x)=0的实数根即为函数f(x)与x轴的交点的横坐标，由奇偶性的定义可知：若f(x0)=0，则f(-x0)=0。对于定义在实数集上的奇函数来说，必有f(0)=0。故原命题成立。五、关于函数按奇偶性的分类 由前面可知，全体实函数可按奇偶性分为四类：奇偶数、偶函数、既是奇函数也是偶函数、非奇非偶函数。六、关于奇偶函数的图像特征教材第62、63页给出奇偶函数的图像的特征：一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；偶函数的图像关于轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于轴对称，那么这个函数是
10、偶函数。例5：已知偶函数在轴右则时的图像如图（一）试画出函数轴右则的图像。解：由偶函数关于轴对称图形得到：根据奇函数图像的对称性，从自变量取正值时的图像和性质，右以推测判断自变量取负值时的图像和性质。根据教材例5、例6、63页第2题、65页第8题，于是可以得到以下这个结论：奇函数对称区间上的单调性相同，偶函数对称区间上的单调性相反。（证略）七、关于函数奇偶性的简单应用函数的奇偶性是函数的重要性质之一，也是每年高考的重点和热点内容之一，利用函数的奇偶性可求函数值、比较大小，求函数的解析式，讨论函数的单调性，求参数的值等。现分别举例说明如下：1、利用奇偶性求函数值例6：已知且，那么解：设，则为奇函
11、数，于是有，从而有即： 令，得，又，故2、利用奇偶性比较大小例7：已知偶函数在上为减函数，比较，的大小。解： 偶函数在上为减函数在上为增函数,又，利用奇偶性求解析式例8：已知为偶函数，求的解析式？4、利用奇偶性讨论函数的单调性例9：若是偶函数，讨论函数的单调区间？ 5、利用奇偶性判断函数的奇偶性 例10：已知函数是偶函数，判断的奇偶性。6、利用奇偶性求参数的值 例11：定义在R上的偶函数在是单调递减，若，则的取值范围是如何？又 即或7、利用奇偶性求代数式的值例12：已知，求的值解：已知条件可变形为（1）根据（1）式的结构特征，可构造函数是奇函数。（1）式可写成（2）又是增函数，由（2）式有，8、利用奇偶性解方程例13：在实数范围内解方程解：原方程可化为：（1）令则（1）式变形为（2）设，则（2）式可变形为函数是奇函数，又是增函数，原方程的解为9、利用奇偶性证明不等式例14：求证证明：根据不等式的结构特点，构造函数易证是偶函数由于当时，从而于是当时，故当时，恒有八、结束语：参考文献：胡炯涛 数学教学论 广西教育出版社 1996年 233234任志鸿高中同步测控优化设计王子兴 数学方法论 湖南师范大学出版社 1997年6月
