《江苏省如皋中学2019届高三第一学期期中数学模拟试题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省如皋中学2019届高三第一学期期中数学模拟试题（解析版）（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、江苏省如皋中学20182019学年度高三第一学期期中模拟试卷一填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分 1.集合，则集合A中所有元素之积为_.【答案】0【解析】【分析】解不等式得到集合A中的元素，然后求出各元素之积即可【详解】由题意得，所以集合A中所有元素之积为0故答案为0【点睛】本题考查集合的元素，解题的关键是正确求出不等式的解集，同时还应注意集合运算的特征，属于简单题2.已知(i是虚数单位)，则复数z的实部为 【答案】2.【解析】试题分析：由题意，所以其实部为2.考点：复数概念3.已知函数，且，则_【答案】-5【解析】【分析】设，则为奇函数，且，然后根据函数的奇偶性求解可得所求【详
2、解】设，则为奇函数，且，故答案为【点睛】解答本题的关键是构造奇函数，然后将作为一个整体进行求解，考查分析和计算能力4.抛物线的准线方程为 【答案】【解析】试题分析：由得：，所以，准线方程为，所以答案应填：考点：抛物线方程5.“a=b”是“”的_条件. 【答案】必要不充分【解析】【分析】根据充分、必要条件的定义进行判定可得结果【详解】当时，不一定成立，如时无意义；反之，当时，一定成立所以“”是“”的必要不充分条件故答案为：必要不充分【点睛】判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、
3、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题处理6.已知向量，且，则的值为_【答案】【解析】【分析】根据得到，然后将化为的形式后求解即可【详解】，且，故答案为：【点睛】解答本题的关键是将所求值的式子转化为的形式，然后将作为整体求解对于含有的齐次式的求值问题，一般都要转化为的形式后求解，考查转化思想的运用，属于基础题7.如图,三棱锥中,是中点,在上,且,若三棱锥的体积是2,则四棱锥的体积为_ 【答案】10【解析】【分析】根据题中条件先求出三棱锥与三棱锥的体积比，进而得到三棱锥的体积，利用两个三棱锥的体积之差可得四棱锥的体积【详解】设的面积为，
4、的面积为设点到平面的距离为，则点到平面的距离为，则有， ，四棱锥的体积为故答案为：【点睛】解答本题的关键是由题意得到三棱锥与三棱锥的体积比，考查锥体体积的求法和转化思想方法的运用，同时也考查计算能力，属于中档题8.已知函数,设为实数，若存在实数，使,则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】先求出函数的值域为，然后根据题意得到不等式，解不等式可得实数的取值范围【详解】，又函数在区间上单调递增， ，即函数的值域为由题意得“存在实数，使”等价于“”，即，整理得，即，解得实数的取值范围为故答案为：【点睛】本题以函数的值域和能成立问题为载体考查不等式的解法，解题的关键是将“存在实数，使”转化为求函数
5、值域的问题，考查理解能力和计算能力，属于中档题9.已知圆，点是直线l：上的动点，若在圆C上总存在不同的两点A，B使得，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由在圆上总存在不同的两点A，B使得可知四边形OAPB是菱形，于是垂直平分然后分类讨论：当直线的斜率为0时，此时在圆上不存在不同的两点满足条件当直线的斜率不存在时，可得，此时直线方程为为，满足条件当直线的斜率存在且不为0时，利用，可得直线方程为，圆心到直线的距离，即，再利用，即可解出所求范围【详解】在圆上总存在不同的两点使得，四边形OAPB是菱形，直线垂直平分OP当直线的斜率为0时，由直线得，此时在圆上不存在不同的两点满足条件当直线的斜率不
6、存在时，由直线可得，此时直线的方程为，满足条件当直线的斜率存在且不为0时，直线的方程为，即，由题意得圆心到直线的距离，即，又，解得的取值范围是故答案为：【点睛】解答本题的关键有两个：一个是根据题意得到四边形OAPB是菱形，于是垂直平分，进而转化为坐标运算处理二是针对直线的斜率的取值情况进行分类讨论，在每种情况下判断是否满足条件，最后将问题转化为圆心到直线的距离小于半径求解考查转化和计算能力，具有综合性和难度10.已知椭圆的左焦点和右焦点，上顶点为，的中垂线交椭圆于点，若左焦点在线段上，则椭圆离心率为_【答案】【解析】【分析】设，由椭圆的定义可得，再由中垂线的性质可得，从而在中，；在中，由余弦定
7、理得，由此可得，最后根据离心率的定义求解即可【详解】如图，设，由椭圆的定义可得的中垂线交椭圆于点，又，解得，在中，在中，由余弦定理得，即椭圆的离心率为故答案为：【点睛】解答本题的关键在于运用椭圆的定义，将题中的参数尽量减少，并进一步转化到三角形中求解，逐步得到参数间的关系，然后再根据离心率的定义求解考查转化和计算能力，属于中档题11.已知函数，若，且，则满足条件的点所围成区域的面积为_；【答案】【解析】由题意，因为且，所以，因此满足条件的点围成的区域是以原点为圆心，为半径的个扇形，面积为，故答案为点睛：本题解题基础是确定满足的条件，因此可先作出函数的图象，由和知不能大于，因此有，而由图象求出的
8、后知，再根据不等式组表示的平面区域的知识可确定所围成的区域，从而得出面积数形结合在本题中起到了关键的作用12.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则_【答案】【解析】试题分析：由题设可得，运用正弦定理可得，即，由余弦定理可得，即，又代入可得，所以或，所以或，因。故，应填。考点：正弦定理、余弦定理等有关知识的综合运用。【易错点晴】本题考查的是正弦定理及有关知识的综合运用。如何运用余弦定理和正弦定理建构方程是解答好本题的关键，也是解答好本题突破口。求解时将已知条件两边取正弦，再运用正弦定理建立等式是运用余弦定理的基础。然后再运用余弦定理将三角形的三边密切联系在一起得到，再将代入消元得
9、到关于的一元二次方程，求出或还要检验其合理性是容易忽视的地方，也是容易致错的地方。13.在中,已知 ,若分别是角所对的边,则的最大值为 .【答案】【解析】试题分析：由正余弦定理得：，化简得因此即最大值为.考点：正余弦定理,基本不等式14.已知函数，函数，（），若对任意，总存在，使得成立，则的取值范围是_【答案】【解析】对函数f(x)求导可得：，令f(x)=0解得或.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表所示：x01f(x)0+f(x)单调递减4单调递增3所以,当时,f(x)是减函数;当时,f(x)是增函数。当x0,1时,f(x)的值域是4,3.对函数g(x)求导,则g(x)=3(x2a
10、2).因为a1,当x(0,1)时,g(x)3(1a2)0，因此当x(0,1)时,g(x)为减函数，从而当x0,1时有g(x)g(1),g(0)，又g(1)=12a3a2,g(0)=2a，即当x0,1时有g(x)12a3a2,2a，任给x10,1,f(x1)4,3,存在x00,1使得g(x0)=f(x1)，则12a3a2,2a4,3,即，解式得a1或a，解式得a，又a1,故a的取值范围内是.点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别求解函数的最值时，要先求函数yf(x)在a，b内所有使f(x)0的点，再计算函数yf(x)在区间内所有使f(x)0的点和区间端点处的函数值，最后比较
11、即得二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.如图，单位圆与轴正半轴交于点，角与的终边分别与单位圆交于两点，且满足，其中为锐角.（1）当为正三角形时，求； （2）当时，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当为正三角形时，求出点的坐标后，得到的坐标，进而得到数量积（2） 由题意得，于是，根据两角差的正弦公式得到，再根据三角形的面积公式可得所求【详解】（1）为正三角形，（2）由题意得，且为第二象限角，【点睛】本题考查三角函数的定义及两角差的正弦公式，考查变换和计算能力，解题的关键是由逆用三角函数的定义得到点的坐标，属于中
12、档题16.在正三棱柱中，点是的中点，（1）求证：平面；（2）试在棱上找一点，使【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析.【解析】【分析】（1）连接，交于点， 连接，根据三角形中位线定理得到，于是可证得：平面；（2）当为的中点时，满足在三棱柱中先证得再根据平面平面得到平面，于是 ，此时可得平面，于是结论正确【详解】（1）证明：连接，交于点， 连接、分别是、的中点， 平面，平面， 平面（2）为的中点证明如下：在正三棱柱中，四边形是正方形为的中点，是的中点，又，是正三角形，是的中点，又平面平面, 平面平面，平面，平面平面， 又，平面平面，【点睛】（1）证明空间中的平行或垂直关系时，要注意三种平行或
13、垂直间的转化，利用相关的定理并结合图形进行证明即可（2）解答立体几何中的探索性问题时，常用的方法是“先猜后证”，即根据题意先猜测出所求点（或线）所在的位置，然后再进行证明，猜测时要注意猜测的合理性和准确性，需要有一定的经验积累和观察判断能力17.某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉，观景喷泉的示意图如图所示，两点为喷泉，圆心为的中点，其中米，半径米，市民可位于水池边缘任意一点处观赏（1）若当时，求此时的值；（2）设，且（i）试将表示为的函数，并求出的取值范围；（ii）若同时要求市民在水池边缘任意一点处观赏喷泉时，观赏角度的最大值不小于，试求两处喷泉间距离的最小值【答案】(1)；(2)(i)，；(ii).【解析】【分析】（1）在中，由正弦定理可得所求；（2）（i）由余弦定理得，两式相加可得所求解析式（ii）在中，由余弦定理可得，根据的最大值不小于可得关于的不等式，解不等式可得所求【详解】（1）在中，由正弦定理得，所以，即（2）（i）在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，又所以，即又，解得，所以所求关系式为，（ii）当观赏角度的最大时，取得最小值在中，由余弦定理可得，因为的最大值不小于，所以，解得，
