《高考数学复习强化练习题：13立体几何中的向量方法(理)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学复习强化练习题：13立体几何中的向量方法(理)（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一部分一13(理) 一、选择题1(2014北京理，7)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1，)，若S1、S2、S3分别是三棱锥DABC在xOy、yOz、zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则()AS1S2S3BS2S1且S2S3CS3S1且S3S2DS3S2且S3S1答案D解析DABC在xOy平面上的投影为ABC，故S1ABBC2，设D在yOz和zOx平面上的投影分别为D2和D3，则DABC在yOz和zOx平面上的投影分别为OCD2和OAD3，D2(0,1，)，D3(1,0，)故S22，S32，综上，选项D正确2已知正四棱柱ABCD
2、A1B1C1D1中，AA12AB，E是AA1的中点，则异面直线D1C与BE所成角的余弦值为()A.B.C. D.答案B解析以A为原点，AB、AD、AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AB1，则B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，D1(0,1,2)，AA12AB，E(0,0,1)，(1,0,1)，(1,0,2)，cos，故选B.3(2015浙江理，8)如图，已知ABC，D是AB的中点，沿直线CD将ACD翻折成ACD，所成二面角ACDB的平面角为，则()AADBBADBCACBDACB答案B解析AC和BC都不与CD垂直，ACB，故C，D错误当CACB时，容易证明
3、ADB.不妨取一个特殊的三角形，如RtABC，令斜边AB4，AC2，BC2，如图所示，则CDADBD2，BDH120，设沿直线CD将ACD折成ACD，使平面ACD平面BCD，则90.取CD中点H，连接AH，BH，则AHCD，AH平面BCD，且AH，DH1.在BDH中，由余弦定理可得BH.在RtAHB中，由勾股定理可得AB.在ADB中，AD2BD2AB220，可知cosADB0，ADB为钝角，故排除A.综上可知答案为B.4已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于()A. B.C. D.答案B解析如图，设A1
4、在平面ABC内的射影为O，以O为坐标原点，OA、OA1分别为x轴、z轴建立空间直角坐标系如图设ABC边长为1，则A(，0,0)，B1(，)，(，)平面ABC的法向量n(0,0,1)，则AB1与底面ABC所成角的正弦值为sin|cos，n|.5.过正方形ABCD的顶点A，引PA平面ABCD.若PABA，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是()A30B45C60D90答案B解析建立如图所示的空间直角坐标系，不难求出平面APB与平面PCD的法向量分别为n1(0,1,0)，n2(0,1,1)，故平面ABP与平面CDP所成二面角(锐角)的余弦值为，故所求的二面角的大小是45.6如图，四棱锥SAB
5、CD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是()AACSBBAB平面SCDCSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角答案D解析四边形ABCD是正方形，ACBD.又SD底面ABCD，SDAC.SDBDD，AC平面SDB，从而ACSB.故A正确易知B正确设AC与DB交于O点，连接SO.则SA与平面SBD所成的角为ASO，SC与平面SBD所成的角为CSO，又OAOC，SASC，ASOCSO.故C正确由排除法可知选D.二、填空题7如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，则点M到直
6、线AD1距离的最小值是_答案a解析设M(0，m，m)(0ma)，(a,0，a)，直线AD1的一个单位方向向量s(，0，)，(0，m，am)，故点M到直线AD1的距离d，根式内的二次函数当m时取最小值()2aa2a2，故d的最小值为a.8(2015四川理，14)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点设异面直线EM与AF所成的角为，则cos 的最大值为_答案解析分别以直线AB、AD、AQ为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示设AB1，则，E.设M(0，y,1)(0y1)，则，由于异面直线所成角的范围为，所以cos .
7、因为21，令8y1t,1t9，则，当t1时取等号所以所以cos ，当y0时，取得最大值三、解答题9在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，BC2，CC14，点E在线段BB1上，且EB11，D、F、G分别为CC1、C1B1、C1A1的中点求证：(1)B1D平面ABD；(2)平面EGF平面ABD.证明(1)以B为坐标原点，BA、BC、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，设BAa，则A(a,0,0)，所以(a,0,0)，(0,2,2)，(0,2，2)，0，0440，即B1DBA，B1DBD，又BABDB，因此
8、B1D平面ABD.(2)由(1)知，E(0,0,3)，G(，1,4)，F(0,1,4)，则(，1,1)，(0,1,1)，0220，0220，即B1DEG，B1DEF，又EGEFE，因此B1D平面EGF.结合(1)可知平面EGF平面ABD.方法点拨1.空间的平行与垂直关系的判断与证明，既可用综合几何方法解决，也可用向量几何方法解决2用向量方法研究空间线面位置关系设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，平面、的法向量分别为e1，e2，A、B、C分别为平面内相异三点(其中l1与l2不重合，与不重合)，则l1l2ab存在实数，使ba(a0)；l1l2abab0.l1ae1存在实数，使e1a(a0)；l
9、1ae10存在非零实数1，2，使a12.e1e2存在实数，使e2e1(e10)；e1e2e1e20.3平面的法向量求法在平面内任取两不共线向量a，b，设平面的法向量n(x，y，z)，利用建立x、y、z的方程组，取其一组解10.如图，已知ABCDA1B1C1D1是底面为正方形的长方体，A1D12，A1A2，点P是AD1上的动点(1)当P为AD1的中点时，求异面直线AA1与B1P所成角的余弦值；(2)求PB1与平面AA1D1所成角的正切值的最大值解析(1)(解法一)过点P作PEA1D1，垂足为E，连接B1E，则PEAA1，B1PE是异面直线AA1与B1P所成的角在RtAA1D1中，A1D12，AA
10、12，A1EA1D11，B1E.又PEAA1，在RtB1PE中，B1P2，cosB1PE.异面直线AA1与B1P所成角的余弦值为.(解法二)以A1为原点，A1B1所在的直线为x轴，A1D1所在直线为y轴，A1A所在直线为z轴建立空间直角坐标系如图所示，则A1(0,0,0)，A(0,0,2)，B1(2,0,0)，P(0，1，)，(0,0,2)，(2,1，)，cos，.异面直线AA1与B1P所成角的余弦值为.(2)由(1)知，B1A1平面AA1D1，B1PA1是PB1与平面AA1D1所成的角，且tanB1PA1.当A1P最小时，tanB1PA1最大，这时A1PAD1，由A1P，得tanB1PA1，
11、即PB1与平面AA1D1所成角的正切值的最大值为.11(2014天津理，17)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点(1)证明：BEDC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABP的余弦值解析解法一：由题意易知AP、AB、AD两两垂直，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，由E为棱PC的中点， 得E(1,1,1)(1)证明：(0,1,1)，(2,0,0)，故0，所以BEDC.(2)(1,2,
12、0)，(1,0，2)，设n(x，y，z)为平面PBD的法向量，则即不妨令y1，可得n(2,1,1)为平面PBD的一个法向量，于是有cosn，.所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(3)向量(1,2,0)，(2，2,2)，(2,2,0)，(1,0,0)，由点F在棱PC上，设，01.故(12，22，2)，由BFAC，得0，因此，2(12)2(22)0，解得，即(，)设n1(x，y，z)为平面FAB的法向量，则即不妨令z1，可得n1(0，3,1)为平面FAB的一个法向量，取平面ABP的法向量n2(0,1,0)，则cosn1，n2.易知，二面角FABP是锐角，所以其余弦值为.解法二：(1)证明
13、：如图，取PD中点M，连接EM、AM.由于E、M分别为PC、PD的中点，故EMDC，且EMDC，又由已知，可得EMAB且EMAB，故四边形ABEM为平行四边形，所以BEAM.因为PA底面ABCD，故PACD，而CDDA，从而CD平面PAD，因为AM平面PAD，于是CDAM，又BEAM，所以BECD.(2)连接BM，由(1)有CD平面PAD，得CDPD，而EMCD，故PDEM，又因为ADAP，M为PD的中点，故PDAM，可得PDBE，所以PD平面BEM，故平面BEM平面PBD，所以，直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，而BEEM，可得EBM为锐角，故EBM为直线BE与平面PBD所成的角依题意，有PD2，而M为PD中点，可得AM，进而BE，故在直角三角形BEM中，tanEBM，因此sinEBM.所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(3)如图，在PAC中，过点F作FHPA交AC于点H，因为PA底面ABCD，故FH底面ABCD，
