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1、一、选择题 1设 为平面，a、b 为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( ) A若 a，b，则 ab B若 a，ab，则 b C若 a，ab，则 b D若 a，ab，则 b 解析：选 B.若 a，b，则 a 与 b 相交、平行或异面，故 A 错误；易知 B 正确；若 a，ab，则 b 或 b，故 C 错误；若 a，ab，则 b 或 b或 b 与 相交，故 D 错 误故选 B. 2设 l 是直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是( ) A若 l，l，则 B若 l，l，则 C若 ，l，则 l D若 ，l，则 l 解析：选 B.对于 A，若 l，l，则 或 与 相交，故 A 错；易知 B 正确；
2、对于 C，若 ，l，则 l 或 l，故 C 错；对于 D，若 ，l，则 l 与 的位置关系不确定，故 D 错故选 B. 3.如图，在三棱锥 DABC 中，若 ABCB，ADCD，E 是 AC 的中点，则下列 命题中正确的是( ) A平面 ABC平面 ABD B平面 ABD平面 BCD C平面 ABC平面 BDE，且平面 ACD平面 BDE D平面 ABC平面 ACD，且平面 ACD平面 BDE 解析：选 C.因为 ABCB，且 E 是 AC 的中点，所以 BEAC，同理，DEAC，由于 DEBEE， 于是 AC平面 BDE.因为 AC平面 ABC，所以平面 ABC平面 BDE.又 AC平面 A
3、CD，所以平面 ACD 平面 BDE.故选 C. 4已知 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出四个命题： 若 m，n，nm，则； 若 m，m，则 ； 若 m，n，mn，则 ； 若 m，n，mn，则 . 其中正确的命题是( ) AB CD 解析：选 B.两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况，不正确；垂 直于同一条直线的两个平面平行，正确；当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时，它们所成的二 面角为直二面角，故正确；当两个平面相交时，分别与两个平面平行的直线也平行，故不正确 5(2018高考全国卷)在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，
4、则异面直线 AD1与 3 DB1所成角的余弦值为( ) A.B. 1 5 5 6 C.D. 5 5 2 2 解析：选 C.如图，连接 BD1，交 DB1于 O，取 AB 的中点 M，连接 DM，OM，易 知 O 为 BD1的中点，所以 AD1OM，则MOD 为异面直线 AD1与 DB1所成角因为 在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，AD12，DM 3 ，DB1，所以 OM AD11，OD DB1，于是在 AD2(1 2AB) 2 5 25 1 2 1 2 5 2 DMO 中，由余弦定理，得 cosMOD，即异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为 12( 5 2) 2
5、( 5 2) 2 2 1 5 2 5 5 ，故选 C. 5 5 6.如图，在矩形 ABCD 中，AB，BC1，将ACD 沿 AC 折起，使得 D 折 3 起后的位置为 D1，且 D1在平面 ABC 上的射影恰好落在 AB 上，在四面体 D1ABC 的 四个面中，有 n 对平面相互垂直，则 n 等于( ) A2B3 C4D5 解析：选 B.如图，设 D1在平面 ABC 上的射影为 E，连接 D1E，则 D1E平 面 ABC， 因为 D1E平面 ABD1， 所以平面 ABD1平面 ABC. 因为 D1E平面 ABC，BC平面 ABC， 所以 D1EBC，又 ABBC，D1EABE， 所以 BC平面
6、 ABD1， 又 BC平面 BCD1， 所以平面 BCD1平面 ABD1， 因为 BC平面 ABD1，AD1平面 ABD1， 所以 BCAD1，又 CD1AD1，BCCD1C， 所以 AD1平面 BCD1，又 AD1平面 ACD1， 所以平面 ACD1平面 BCD1. 所以共有 3 对平面互相垂直故选 B. 二、填空题 7(2018广州调研)正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，点 M 为 CC1的中点，点 N 为线段 DD1上靠近 D1的三等分点，平面 BMN 交 AA1于点 Q，则线段 AQ 的长为_ 解析：如图所示，在线段 DD1上靠近点 D 处取一点 T，使得 DT ，因为 N
7、 1 3 是线段 DD1上靠近 D1的三等分点，故 D1N ，故 NT2 1，因为 M 为 2 3 1 3 2 3 CC1的中点，故 CM1，连接 TC，由 NTCM，且 CMNT1，知四边形 CMNT 为平行四边形，故 CTMN，同理在 AA1上靠近 A 处取一点 Q，使得 AQ ，连接 BQ，TQ，则有 BQCTMN，故 BQ与 MN 共面，即 Q与 Q 重合，故 AQ . 1 3 1 3 答案： 1 3 8.如图，ACB90，DA平面 ABC，AEDB 交 DB 于点 E，AFDC 交 DC 于点 F，且 ADAB2，则三棱锥 DAEF 体积的最大值为_ 解析：因为 DA平面 ABC，所
8、以 DABC，又 BCAC，DAACA，所以 BC平 面 ADC，所以 BCAF.又 AFCD，BCCDC，所以 AF平面 DCB，所以 AFEF，AFDB.又 DBAE，AEAFA，所以 DB平面 AEF，所以 DE 为三棱锥 DAEF 的高因为 AE 为等腰直角三角形 ABD 斜边上的高，所以 AE，设 AFa，FEb，则AEF 的面积 S ab 2 1 2 1 2 ，所以三棱锥 DAEF 的体积 V (当且仅当 ab1 时等号成立) a2b2 2 1 2 2 2 1 2 1 3 1 22 2 6 答案： 2 6 9(2018昆明调研)在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABAD4，AA
9、12.过点 A1作平面 与 AB，AD 分别交于 M，N 两点，若 AA1与平面 所成的角为 45，则截面 A1MN 面积的最小值是_ 解析：如图，过点 A 作 AEMN，连接 A1E，因为 A1A平面 ABCD， 所以 A1AMN，所以 MN平面 A1AE，所以 A1EMN，平面 A1AE平面 A1MN，所以AA1E 为 AA1与平面 A1MN 所成的角，所以AA1E45， 在 RtA1AE 中，因为 AA12，所以 AE2，A1E2，在 RtMAN 中， 2 由射影定理得 MEENAE24，由基本不等式得 MNMEEN24，当且仅当 MEEN，即 MEEN E 为 MN 的中点时等号成立，
10、所以截面 A1MN 面积的最小值为 424. 1 222 答案：4 2 三、解答题 10.如图，在三棱锥 ABCD 中，ABAD，BCBD，平面 ABD平面 BCD，点 E、F(E 与 A、D 不重合)分别在棱 AD、BD 上，且 EFAD. 求证：(1)EF平面 ABC； (2)ADAC. 证明：(1)在平面 ABD 内，因为 ABAD，EFAD，所以 EFAB. 又因为 EF平面 ABC，AB平面 ABC， 所以 EF平面 ABC. (2)因为平面 ABD平面 BCD， 平面 ABD平面 BCDBD， BC平面 BCD 且 BCBD， 所以 BC平面 ABD. 因为 AD平面 ABD，所以
11、 BCAD. 又因为 ABAD，BCABB，AB平面 ABC，BC平面 ABC， 所以 AD平面 ABC. 又因为 AC平面 ABC， 所以 ADAC. 11.如图所示，已知 AB平面 ACD，DE平面 ACD，ACD 为等边三角形， ADDE2AB，F 为 CD 的中点 求证：(1)AF平面 BCE； (2)平面 BCE平面 CDE. 证明：(1)如图，取 CE 的中点 G， 连接 FG，BG. 因为 F 为 CD 的中点， 所以 GFDE 且 GF DE. 1 2 因为 AB平面 ACD，DE平面 ACD，所以 ABDE， 所以 GFAB. 又因为 AB DE，所以 GFAB. 1 2 所
12、以四边形 GFAB 为平行四边形，则 AFBG. 因为 AF平面 BCE，BG平面 BCE， 所以 AF平面 BCE. (2)因为ACD 为等边三角形，F 为 CD 的中点， 所以 AFCD. 因为 DE平面 ACD，AF平面 ACD， 所以 DEAF. 又 CDDED， 所以 AF平面 CDE. 因为 BGAF，所以 BG平面 CDE. 又因为 BG平面 BCE， 所以平面 BCE平面 CDE. 12如图 1，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，BDDC，点 E 是 BC 边的中点，将ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，连接 AE，AC，DE，得到如图 2 所示的几
13、何体 (1)求证：AB平面 ADC； (2)若 AD1，AC 与其在平面 ABD 内的正投影所成角的正切值为，求点 B 到平面 ADE 的距离 6 解：(1)证明：因为平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD， 又 DCBD，DC平面 BCD， 所以 DC平面 ABD. 因为 AB平面 ABD， 所以 DCAB. 又因为折叠前后均有 ADAB， 且 DCADD， 所以 AB平面 ADC. (2)由(1)知 DC平面 ABD， 所以 AC 在平面 ABD 内的正投影为 AD， 即CAD 为 AC 与其在平面 ABD 内的正投影所成的角 依题意知 tan CAD， DC AD6 因为
14、 AD1，所以 DC. 6 设 ABx(x0)，则 BD， x21 易知ABDDCB，所以， AB AD DC BD 即 ，解得 x， x 1 6 x212 故 AB，BD，BC3. 23 由于 AB平面 ADC， 所以 ABAC，又 E 为 BC 的中点，所以由平面几何知识得 AE ， BC 2 3 2 同理 DE ， BC 2 3 2 所以 SADE 1 . 1 2 ( 3 2) 2 ( 1 2) 2 2 2 因为 DC平面 ABD，所以 VABCD CDSABD. 1 3 3 3 设点 B 到平面 ADE 的距离为 d， 则 dSADEVBADEVABDE VABCD， 1 3 1 2 3 6 所以 d，即点 B 到平面 ADE 的距离为. 6 2 6 2
