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1、随堂步步高高二数学单元系列多面体面积、体积的计算【基础知识】1.棱柱(1)棱柱的定义：如果一个多面体有两个面互相平行,而其余每相邻两个面的交线互相平行,这样的多面体叫做棱柱(2)棱柱的分类： (3)棱柱的主要性质： 侧棱都相等，侧面是平行四边形;两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形;过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.(4)平行六面体与长方体:概念：底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体;侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体;底面是矩形的直平行六面体叫长方体棱长都相等的长方体叫正方体性质定理：()平行六面体的对角线交于一点，并且交点处互相平分.()长方体的一条对角线长的平
2、方等于一个顶点上三条棱长的平方和. 即设长方体的长、宽、高分别为、，对角线长为，则推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为,则.推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为,则.(5)棱柱的侧面积和体积公式:直棱柱的侧面积和体积公式:如果直棱柱的底面周长是C，高是，那么它的侧面积是 S直棱柱=Ch;如果直棱柱的底面面积是S，高是，那么它的体积是 v直棱柱=Sh斜棱柱的侧面积和体积公式:如果斜棱柱的直截面(垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面)的周长为C，侧棱长为，那么斜棱柱的侧面积是 S斜棱柱侧=Cl;如果斜棱柱的直截面的面积为S，侧棱长为z，那么它的体积是V斜棱柱=S
3、z注:2.棱锥(1)棱锥的概念和性质:棱锥:如果一个多面体的一个面是多边形,其余是有一个公共顶点的三角形,那么这个多面体叫做棱锥.棱锥的分类：棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形，因此我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥.性质定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比 (2)正棱锥的概念和性质:正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥正棱锥的性质:()各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各侧面底边上的高叫棱锥的斜高，正棱锥的斜高相等()正棱锥的高、斜高和斜
4、高在底面内的射影组成一个直角三角形; 正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形3)棱锥的面积和体积: 棱锥的全面积(S全)等于底面积(S底)和侧面积(S侧)之和，即S全= S底+ S侧若C为正棱锥的底面周长，为斜高，则S侧=;棱锥的体积等于它的底面积(S底)与高()的乘积的，即V棱锥=.1、侧面积（各个侧面面积之和）：（1）棱柱：侧面积直截面（与各侧棱都垂直相交的截面）周长侧棱长，特别地，直棱柱的侧面积底面周长侧棱长（2）正棱锥：正棱锥的侧面积底面周长斜高注意：全面积（也称表面积）是各个表面面积之和，故棱柱的全面积侧面积2底面积；棱锥的全面积侧面积底面积2、体积：（1）棱柱：体
5、积底面积高，或体积直截面面积侧棱长，特别地，直棱柱的体积底面积侧棱长；三棱柱的体积（其中为三棱柱一个侧面的面积，为与此侧面平行的侧棱到此侧面的距离）（2）棱锥：体积底面积高特别提醒：求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体补形：三棱锥三棱柱平行六面体；分割：三棱柱中三棱锥四棱锥三棱柱的体积关系是 （答：1：2：3）和等积变换法(平行换点换面)和比例(性质转换)法等.3、点到平面的距离：（1）垂面法：借助于面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；（2）体积法：转化为求三棱锥的高 （3）等价转移法问题解析：一、侧面积的计算【例1】如图所示，在三棱锥中，底面为直角三
6、角形，两直角边，三棱锥侧面与底面所成二面角都为求此三棱锥的侧面积说明：本题考查了三棱锥的有关概念与性质在三棱锥中，过一条侧棱和高的截面有许多重要性质，而这个截面又把棱锥的许多有线段、高、角都集中到同一个平面内，所以常常通过研究这个辅助平面来解决问题解法二是求棱锥侧面积的一种简捷解法，用到了面积射影定理二、求二面角【例2】三棱锥中，将此三棱锥沿三条侧棱剪开，其展开图是一个直角梯形如图所示(1)求证：侧棱；(2)求侧面与底面所成的角的余弦值说明：折与展是一对互逆的过程在处理这类问题时应充分注意折叠或展开前后各元素(主要是直线、线段、角)的相对位置和数量变化，注意哪些发生了变化，哪些不变一般来说，位
7、于同一半平面内的元素相对位置和数量关系不变位于两个不同半平面内的元素，位置和数量要发生变化这类问题常用的添辅助线方法是作棱的垂线三全面积的计算【例3】正三棱锥底面边长和高都是4，它的一个内接三棱柱的三个侧面都是正方形求内接三棱柱的全面积四、体积的计算【例4】斜三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面成角，点在底面的射影为的中点，（1）求证；（2）若为的二面角，求四棱锥的体积说明：证明线线垂直转化成证线面垂直是证明时常用的方法之一，而证线面垂直时又涉及线与线的垂直，因此线与面各种位置关系经常贯穿问题的始终当遇到一线垂直于一截面，而截面面积又能计算时，将几何体分割成两个体积之和计算也是一种常用的方法结
8、果便转化成截面与此线相乘的关系，因而使问题得到简化五、利用函数的有界性求体积最值【例5】如图，已知在中，平面ABC，于E，于F，当变化时，求三棱锥体积的最大值。知识内化：（1）长方体的高为h，底面积为Q，垂直于底的对角面的面积为M，则此长方体的侧面积为_（2）斜三棱柱ABC- A1B1C1中，二面角C-A1A-B为120，侧棱AA1于另外两条棱的距离分别为7cm8cm，AA1=12cm，则斜三棱柱的侧面积为_ （3）设长方体的三条棱长分别为abc，若长方体所有棱的长度之和为24，一条对角线长度为5，体积为2，则等于_ _ （4）如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的 边长为1的
9、正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是 。A258 B。234 C。222 D。210（5）一块边长为10的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积与的函数关系式,并求出函数的定义域.（6）有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为.用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，求的取值范围.能力迁移：1、在平面几何里，有勾股定理：“设的两边互相垂直，则”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥的三个侧面两两
10、互相垂直，则_”2、若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是_（只需写出一个可能的值）基本练习一、填空题1、直三棱柱ABCA1B1C1的体积为，PQ分别是侧棱AA1CC1上的点，且AP=C1Q，则四棱锥BAPQC的体积为 2、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 。3、若斜三棱柱的高为4，侧棱与底面所成的角为60，相邻两侧棱之间的距离都为5，则该三棱柱的侧面积为_4、已知正四棱锥PABCD的高为4，侧棱与底面所成的角为60，则该正四棱锥的侧面积是_ 5、已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中
11、心分别为EFGH.设四面体EFGH的表面积为T，则等于_6、用平面去截三棱锥，与三条侧棱交于三点，若，则多面体的体积为_7、如图的多面体ABC-DEFG中，ABACAD两两垂直，平面ABCDEFG，平面BEFADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，则该多面体的体积为_8、若一个锥体被平行于底面的平面所截，若截面面积是底面积的，则锥体被截面截得的一个小棱锥与原棱锥体积之比为_9、已知正三棱柱底面边长是10，高是12，过底面一边AB，作与底面ABC成角的截面面积是_。10、两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有( )（A）1个（B）2个 （C）3个（D）无穷多个11、直三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上如图，AP=C1Q，则四棱锥BAPQC的体积为（ ）A B C D12、平行六面体的棱长都是a，从一个顶点出发的三条棱两两都成60角，则该平行六面体的体积为（ ）A B C D 13、一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D、E、F，且知SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的 （ ）A、 B、 C、 D、
