铅球抛掷问题数学建模

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1、五一数学建模模拟赛承 诺 书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则 （以下简称为“竞赛章程和参赛规则” ，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载） 。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，

2、我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等） 。我们参赛选择的题号是（从 A/B 中选择一项填写）： A 我们的报名参赛队号为（8 位数字组成的编号）： 8 所属学校（请填写完整的全名）： 四川理工学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 郭亮 2. 陈欢 3. 肖望 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）日期： 2015 年

3、 4 月 24 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：五一数学建模模拟赛编 号 专 用 页评阅编号（评阅前进行编号）：评阅记录（评阅时使用）：评阅人评分备注1铅球抛掷问题摘 要本文探究了铅球投掷远度的影响因素等一系列问题。运用了牛顿力学等物理、 数学知识建立了铅球投掷过程的数学物 理 模 型 探 讨 了 出 手 速 度 v（ m/s） ， 出 手 高 度 h（ m） ,出手 角 度 （ 度 ） ， 这 三 个 影 响 铅 球 投 掷 水 平 位 移 s(m)的 主 要 因 素 。 然 后 运 用 数 值 法 进 行分 析 ， 计 算 各 影 响 因 素 的 主 次 关 系 。问 题 一

4、 的 分 析 ： 根 据 斜 抛 运 动 及 牛 顿 运 动 定 理 求 解 铅 球 抛 掷 的 水 平 距 离 s(m)以 及 求出 水 平 距 离 s 与 出 手 速 度 v（ cm/s） 出 手 高 度 h（ m） ， 出 手 角 度 （ 度 ） 的 影 响 。 用Mathematica 软 件 求 出 理 论 抛 掷 距 离 s0， 并 用 Matlab 软 件 对 题 中 数 据 进 行 筛 选 ， 最 终 得到 实 际 抛 掷 距 离 s0与 理 论 值 s 之 间 的 误 差 百 分 比 。 再 分 析 表 1、 表 2 中 的 数 据 ， 得 出 出手速度在/ /之间变化，出手

5、角度 在 之间变化，并对这之间的速度、角度分别求出对应的投掷距离。再运用 Excel 做出角度与投掷距离的关系图。最后得出运动员投掷铅球存在最佳角度，角度是在 40 42间。问 题 二 的 分 析 ： 以 铅 球 抛 掷 的 数 学 模 型 及 问 题 一 的 分 析 ， 制 定 一 份 提 高 比 赛 成 绩 的训 练 方 案 。关 键 词 ： 铅 球 投 掷 、 牛 顿 运 动 定 律 、 出 手 角 度 、 投 掷 距 离 、 出 手 速 度 、 出 手 高 度2一、 问题重述众所周知，铅球的投掷运动是运动员单手托住 ( 磅)重的铅球在直径为kg264.71的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球

6、落入开角为 的有效扇形区域内。以铅球m135.2 5的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩（以国际男子铅球比赛为例） 。如图：452.135m图 1 铅球抛远场地根据参考数据（见附录 1） ，分析问题并建立相关数学模型讨论以下问题 ：1、在铅球抛掷运动中是否存在最佳出手角度和出手速度，如果存在，建立模型分析，运动员应该更关心出手角度还是出手速度？如何折中？2、建立合理的数学模型分析影响铅球投掷远度的因素，并为运动员制定一份提高比赛成绩的训练方案。表 1 李素梅与斯卢皮亚内克铅球投掷成绩姓名 出手速度 )/(smv出手高度 )(mh出手角度 )(o实测

7、成绩 )(ms李素梅 12.37 1.90 37.60 20.95李素梅 13.52 2.00 38.69 20.30斯卢皮亚内克 14.67 2.06 40.00 21.41表 2 我国优秀运动员的铅球投掷数据姓名 实测成绩 )(ms出手速度 )/(sv出手角度 )(o出手高度 )(mh李梅素 19.32 13.16 40.27 2.02李梅素 19.80 13.51 38.69 2.00黄志红 21.01 13.58 37.75 2.02隋新梅 21.49 13.95 39.00 2.043李梅素 20.92 14.08 35.13 1.95二、基本假设1、假设铅球飞行过程中不受空气阻力。

8、2、忽略运动员自身因素对投掷铅球的影响。3、出手速度与出手角度是相互独立的。4、假设铅球每次抛出的轨道都在同一平面。5、假设铅球被抛出时所受到的推力是恒定的。三、问题一3、1 问题一的分析在平地上斜抛物体若不计空气阻力，为了取得最远水平距离，其投掷的最佳角度为45。 ，如图 1。然而，投掷运动员具有一定的高度，为了取得最远投掷距离，其投掷最佳角度并非45。 。从图 2 可见，用小于 45。 的投掷角，其投掷距离都比 45。 远。因此，此角度应视投掷出手高度及初速度而异。45。图 1 水平投掷45。h3、2 问题一的求解3、2、1 建立模型铅球出手后就在一个竖直平面内作斜上抛运动，我们以铅球出手

9、点的铅垂方向为y轴，以轴与地面的交点到铅球落地点方向为轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，求出铅球投掷距离关于出手高度、出手速度、出手角度 三者的函数关系模型hvxs图 3 铅球运动示意图我们先求出铅球出手后的运动轨迹方程。设铅球出手后在时刻 t 的坐标为（x,y） ，由斜上抛运动的物理学知识得铅球运动方程： hgtvyx21sinco消去参数 t，得：图 2 在 h 高度投掷 y4hxvgy tancos22当铅球落地时，y=0,得方程： 0t22x即： ghvgvgvx 22cos)sin(sin舍去负根，得铅球抛掷的数学模型： s 2222 s)si(i3、2、2 模型的检验再利用 Ma

10、tlab 软件对表 1 及表 2 中的数据进行处理，得到图 4 误差分析图。19 19.5 20 20.5 21 21.51718192021222324实实实实实实实实实实实实图 4 误差分析图对数据进行筛选，再用 Mathematica 软件计算理论成绩（s 0） ，并求出与实测成绩 s 的误差百分率，得到表 3 中的数据。表 3出手速度 )/(smv出手高度 )(h出手角度 )(o实测成绩 )(ms理论成绩s0(m)与实际误差13.52 2.00 38.69 20.30 20.43 0.6%13.16 2.02 40.27 19.32 19.56 1.2%13.58 2.02 37.75

11、 21.01 20.53 2.2%13.95 2.04 39.00 21.49 21.68 0.8%14.08 1.95 35.13 20.92 21.49 2.7%从表 3 的数据我们可以看出，由铅球投掷距离模型计算的结果与实际投掷距离是比较吻合的。3、2、3 问题一的解释对于一个运动员来说，投掷时的出手高度是相对稳定的，这主要取决于运动员的身高、臂长以及对专业技术的掌握程度。下面我们用数值摸拟来探究出手速度与出手角度 对投掷距离 s 的影响根据铅球运动员出手高度、出手速度、出手角度 三个因素的具体情况，我们令出手高度=，重力加速度=s 2，出手速度在/ /之间变化，出手角度 在 之间变化，

12、通过计算得到表 45表 437 38 39 40 41 42 4310m/s 11.78 11.81 11.82 11.83 11.83 11.82 11.7611m/s 13.86 13.90 13.93 13.95 13.96 13.95 13.9312m/s 16.12 16.18 16.23 16.26 16.28 16.28 16.2613m/s 18.57 18.65 18.71 18.76 18.79 18.79 18.7814m/s 21.20 21.30 21.39 21.45 21.49 21.51 21.5015m/s 21.89 22.08 22.25 22.39 22

13、.51 22.60 22.66对表4数据进行分析，可知，投掷距离随速度的增加而增加。而角度与投掷距离有不确定关系。选取速度为10m/s、12m/s、14m/s的数据，再对角度与投掷距离关系用Excel作图处理：图 5 图 62121.0521.121.1521.221.2521.321.3521.421.4521.521.5537 38 39 40 41 42 43度 数距离 14m/s图 7对以上三个图分析：可以看出运动员投掷铅球存在最佳角度，角度是在 40 42。在投掷角度确定的情况下，投掷速度越大，投掷距离越远。从以上分析可以看出，出手角度在其可能范围内所引起的投掷距离的最大改变量在之间

14、，出手速度在其可能范围内所引起的投掷距离的最大改变量在之间这个计算结果表明，出手速度是影响投掷距离的主要因素。四、问题二4、1问题二的分析从问题一中建立的数学模型可以知道影响运动员投掷铅球距离（s）的因素是投掷速度（v）、投掷角度（）、出手高度（h）。由此我们可以制定出一系列训练运动员的方案，铅球运动员要在比赛中取得较好成绩，在平时训练时应集中主要精力来增加投掷的出手速度运动员在投掷铅球的最佳出手角度是在4042之间。铅球教练员和运动员必须重视最佳的投掷角度，根据自己的出手高度和初速度进行选定，并在训练开始时就掌握它，而且也要随着出手速度的改变而修正出手角度，从而达到最佳成绩。4、2问题的解决度数距离速 度11.7211.7411.7611.7811.811.8211.8437383940414243度 数距离 10m/s1616.0516.116.1516.216.2516.337 38 39 40 41 42 43度 数速度 12m/s6（1）对投掷铅球的运动员要加强对身体爆发力的训练，这是因为当出手角度要一定时，爆发力强有助于提高出手速度，从而提高投掷距离。（2）在铅球投掷时应使铅球尽量高的远离出手点，最后发力阶段突出向前性。五、模型的评价（1）以上的模型忽略了铅球在