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1、课时作业50直线与圆锥曲线 基础达标1过椭圆1内一点P(3,1)，求被这点平分的弦所在直线方程解析：设直线与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由于A、B两点均在椭圆上，故1，1，两式相减得0.又P是A、B的中点，x1x26，y1y22，kAB.直线AB的方程为y1(x3)即3x4y130.2.2019郑州入学测试已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，点P(2,1)在直线l的左上方若APB90，且直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，求线段MN的长度解析：(1)由题意知解
2、得所以椭圆C的方程为1.(2)设直线l：yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，得消去y，化简整理，得x22mx2m240.则由(2m)24(2m24)0，得2mb0)，右焦点为F2(c,0)因为AB1B2是直角三角形，且|AB1|AB2|，所以B1AB290，因此|OA|OB2|，得b.由c2a2b2得4b2a2b2，故a25b2，c24b2，所以离心率e.在RtAB1B2中，OAB1B2，故SAB1B2|B1B2|OA|OB2|OA|bb2.由题设条件SAB1B24得b24，所以a25b220.因此所求椭圆的标准方程为1.(2)由(1)知B1(2,0)，B2(2,0)由题意知直线
3、l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为xmy2，代入椭圆方程并整理得(m25)y24my160.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1y2，y1y2，又(x12，y1)，(x22，y2)，所以(x12)(x22)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616，由PB2QB2，得0，即16m2640，解得m2.所以满足条件的直线l有两条，其方程分别为x2y20和x2y20.52019唐山五校联考在直角坐标系xOy中，长为1的线段的两端点C，D分别在x轴、y轴上滑动， .记点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)经过点(0,1)作直线与曲线E相
4、交于A，B两点，当点M在曲线E上时，求四边形AOBM的面积解析：(1)设C(m,0)，D(0，n)，P(x，y)由 ，得(xm，y)(x，ny)，所以得由|1，得m2n2(1)2，所以(1)2x2y2(1)2，整理，得曲线E的方程为x21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，知点M坐标为(x1x2，y1y2)由题意知，直线AB的斜率存在设直线AB的方程为ykx1，代入曲线E的方程，得(k22)x22kx10，则x1x2，x1x2.y1y2k(x1x2)2.由点M在曲线E上，知(x1x2)21，即1，解得k22.这时|AB|x1x2|，原点到直线AB的距离d，所以平行四边形OAMB的
5、面积S|AB|d.62018天津卷设椭圆1(ab0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，点A的坐标为(b,0)，且|FB|AB|6.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l：ykx(k0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若sinAOQ(O为原点)，求k的值解析：(1)设椭圆的焦距为2c，由已知有，又由a2b2c2，可得2a3b.由已知可得|FB|a，|AB|b，由|FB|AB|6，可得ab6，从而a3，b2.所以，椭圆的方程为1.(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)由已知有y1y20，故|PQ|sinAOQy1y2.又因为|AQ|，而OAB，所
6、以|AQ|y2.由sinAOQ，可得5y19y2.由方程组消去x，可得y1.易知直线AB的方程为xy20，由方程组消去x，可得y2.由5y19y2，可得5(k1)3，两边平方，整理得56k250k110，解得k或k.所以k的值为或.能力挑战72018江苏卷如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点，焦点为F1(，0)，F2(，0)，圆O的直径为F1F2.(1)求椭圆C及圆O的方程；(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；直线l与椭圆C交于A，B两点若OAB的面积为，求直线l的方程解析：解法一(1)因为椭圆C的焦点为F1(，0)，F2(，0)
7、，所以可设椭圆C的方程为1(ab0)又点，在椭圆C上，所以解得因此，椭圆C的方程为y21.因为圆O的直径为F1F2，所以其方程为x2y23.(2)设直线l与圆O相切于P(x0，y0)(x00，y00)，则x0y03.所以直线l的方程为y(xx0)y0，即yx.由消去y，得(4x0y0)x224x0x364y00.(*)因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以(24x0)24(4x0y0)(364y0)48y0 (x02)0.因为x00，y00，所以x0，y01.因此，点P的坐标为(，1)因为三角形OAB的面积为，所以ABOP，从而AB.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(*)得x1,2
8、，所以AB2(x1x2)2(y1y2)21.因为x0y03，所以AB2，即2x045x01000，解得x0(x020舍去)，则y0，因此P的坐标为，.则直线l的方程为yx3.解法二(1)由题意知c，所以圆O的方程为x2y23，因为点在椭圆上，所以2a4，所以a2.因为a2b2c2，所以b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)由题意知直线l与圆O和椭圆C均相切，且切点在第一象限，所以直线l的斜率k存在且k0，设直线l的方程为ykxm(k0)，将直线l的方程代入圆O的方程，得x2(kxm)23，整理得(k21)x22kmxm230，因为直线l与圆O相切，所以(2km)24(k21)(m23)0，整理
9、得m23k23，将直线l的方程代入椭圆C的方程，得(kxm)21，整理得(4k21)x28kmx4m240，因为直线l与椭圆C相切，所以(8km)24(4k21)(4m24)0，整理得m24k21，所以3k234k21，因为k0，所以k，则m3，将k，m3代入(k21)x22kmxm230，整理得x22x20，解得x1x2，将x代入x2y23，解得y1(y1舍去)，所以点P的坐标为(，1)设A(x1，kx1m)，B(x2，kx2m)，由知m23k23，且k0，因为直线l和椭圆C相交，所以结合的过程知m24k21，解得k，将直线l的方程和椭圆C的方程联立可得(4k21)28kmx4m240，解得x1,2，所以|x1x2|，因为AB|x1x2|，O到l的距离d，所以SOAB，解得k25，因为k0，所以k，则m3，即直线l的方程为yx3.
