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2、(2)在（1）的基础上根据a的符号再作确定； （3）判断抛物线的增减性要结合开口方向及对称轴.,专题复习,例1 已知函数 是关于x的二次数. (1) 求满足条件的m的值，并写出解析式； （2）抛物线有最高点和最低点吗？二次函数有最大值还是最小值？最值是多少？ （3）当x为何值时y随x的增大而减小？,解：（1）由题意得 解得,满足条件的m=-3,这时二次函数的解析式为y=-x2+3.,(2)抛物线y=-x2+3有最高点，该二次函数有最大值，最大值是3.,(3)当x0时，y随x的增大而减小.,配套训练 1.抛物线y=(x-2)2+2的顶点坐标是（ ） A.(-2,2) B. (2,-2) C. (
3、2,2) D. (-2,-2) 2.已知二次函数y=x2-x+c的顶点在x轴上，则c= . 3.二次函数y=x2+bx+3 的对称轴是直线x=2 ，则 b=_.,C,-4,y,y,例2 抛物线y=ax2+bx+c (a0)与x轴的公共点是（-1，0）， （3，0），则这条抛物线的对称轴为_.,解析 抛物线与x轴的两个交点是一对对称点.其实只要抛物线上两点（x1，y0）、(x2，y0)的纵坐标相等，这两点就是一对d对关于抛物线对称轴对称的对称点.对称轴计算公式是直线 ,因此这条抛物线的对称轴是直线 .,直线x=1,配套训练 1.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下
4、表：,则抛物线的对称轴是 ； 当y5时，x的取值范围是 . 在此抛物线上有两点A(3，y1)，B(4.5，y2)，试比较y1和y2的大小：y1_y2(填“”“”或“”).,直线x=2,0x4,配套训练 2.抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y0时，x的取值范围是 .,y,-1x3,O,例3 如图，二次函数y1=x2+2图象向右平移1个单位得到的y2 回答下列问题： （1） y2图象的顶点坐标 （2）图中阴影部分的面积 （3）若再将y2绕原点O旋转180得 到y3，则y3的开口方向 ， 顶点坐标 ,解析 根据抛物线平移规律可得出y2=-(x-1)2+2,因此可以很快确定其顶点坐标
5、；阴影部分的面积利用割补方法，进而转化为求平行四边形的面积；再根据抛物线关于原点对称规律可得出y3=(x+1)2-2.,(1,2),2,向上,（-1，-2）,知识点复习 抛物线y=a(x-h)2+k的平移规律：左右平移，括号内左加右减；上下平移，括号外上加下减.,配套训练 要得到抛物线y=2(x-4)2-1,可以将抛物线y=2x2 ( ) A.向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B.向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C.向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D.向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度,B,例4 如图，二次函数yax2bxc（a0）的图象与x轴
6、交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线x1，点B坐标为 （-1，0）则下面的四个结论 ：2ab0；4a2bc0；abc0；当y0时，x-1或x3其中正确的是（ ） A. B. C. D. ,C,解析 2ab0, 想到对称轴 ,得b=-2a,故2ab0正确； 4a2bc0，想到当x=-2时结合图象可知y0不正确； abc0，由图象可知a0,又易知c0,故abc0不正确； 当y0时，x-1或x3，根据对称性可知A点的坐标是（2，0），结合图象可知当y0时，x-1或x3，故正确，所以选C.,知识点复习 抛物线y=ax2+bx+c中的符号问题: a的符号决定开口方向； a、b的符号共同决定对称
7、轴的位置，“左同右异”； c的符号决定抛物线与y轴的交点位置.,配套训练 1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a 0)的图象如图所示，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根，有下列结论： b2-4ac0; abc2.其中正确结论的个数是（ ） A.0 B.1 C. 2 D. 3,D,配套训练 2.如图，函数y=ax2-2x+1和y=ax+a（a是常数，且a 0)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）,A,例5 结合二次函数y=ax2+bx+c图象，解答下列问题： 写出方程ax2+bx+c=0的根； 写出不等式ax2+bx+c0的解集； 写出y随x的增大而减小的自变量x的取值
8、范围； 若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根， 求k的取值范围.,解析 本题结合图象从中发现信息进行解题.,解：（1）由图象可知，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于（-1,0），（3,0）两点.方程的根为x1=-1，x2=3；,（2）由图象可知当-1x3时，函数的图象位于x轴的上方，所以不等式的解集为-1x3；,（3）由图象可知，在x轴的右侧，y随着x的增大而减小，y随着x的增大而减小的x的取值范围为x1;,(4)要使得有ax2+bx+c=k两个不相等的实数根，即直线x=k与二次函数图象有两个交点，k的取值范围为k5.,配套训练 已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，
9、则关于x的方程 ax2+bx+c-8=0的根的情况是（ ） A.有两个不相等的正实数根 B.有两个异号实数根 C.有两个相等的实数根 D.没有实数根,C,例6 你能求出图中抛物线的解析式吗？,解析 图象中提供了我们解题的很多信息，如可知道抛物线与x轴的两个交点坐标是（-1，0）和（3，0），还可以知道对称轴是直线x=2及顶点坐标是(1,4).,你有几种方法可以求这条抛物线的解析式，你最喜欢哪一种？,解：设抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k. 由图象可知抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴相交于点（-1,0），（3,0），顶点坐标为（1,4）， 有y=a（x-1）2+4， 代入（-1,0）.a
10、（-1-1）2+4=0，a=-1， 抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4.,方法提示 知道顶点坐标，通常设顶点式y=a(x-h)2+k;知道抛物线与x轴的两个交点坐标，通常设交点式y=a(x-x1)(x-x2);知道抛物线上的三点坐标，可选用一般式y=ax2+bx+c,三种情况都可以时选用最熟悉的方法.,配套训练 已知二次函数当x=1时，有最大值6，且其图象过点(2，8)，则二次函数的解析式是 .,y=-2(x-1)2-6,例7 跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看为抛物线，如图，正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，丙、丁同学分别站在距甲拿绳的手水平距离1米、2.5米
11、处，绳子甩到最高处，刚好通过他们的头顶，已知丙同学的身高是1.5米. （1）请你算一算丁同学的身高.,(0,1),(4,1),(1,1.5),解得： ，所以抛物线解析式为 当x=2.5时，y=1.625.所以丁同学的身高为1.625米.,解:如图建立平面直角坐标系，可设抛物线的解析式为y=ax2+bx+1 点（1,1.5）、（4,1）在抛物线上，得,x,O,y,(0,1),(4,1),(1,1.5),（2）如果身高为1.5米的丙同学站在甲、乙同学之间,且离甲同学的距离为s米, 要使绳子甩到最高处时超过他的头顶,请结合图像,直接写出s的取值范围.,1s3,二次函数,二次函数的定义,二次函数的概念
12、及图象特征,二次函数的图象及性质,用数形结合的方法去研究和运用,二次函数的应用,建立二次函数模型，将实际问题数学化，运用二次函数知识解决实际问题,课堂小结,1.对于抛物线y=-2(x-5)2+3 ，下列说法正确的是（ ） A.开口向下，顶点坐标(5,3) B.开口向上，顶点坐标(5,3) C.开口向下，顶点坐标(-5,3) D.开口向上，顶点坐标(-5,3),A,2.当a0, b0时,下列图象有可能是抛物线y=ax2+bx+c的是 （ ）,A,课后训练,3.将二次函数y=2x2-1的图象沿y轴向上平移2个单位，所得到的图象的函数解析式是 .,y=2x2+1,4.二次函数y=ax2+bx+c的图
13、象经过点(3,6)和(-1,6),则对称轴为 .,直线x=1,5.如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（-3，0）两点，与y轴交于点C（0,3）. （1）求该抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.,y=-x2-2x+3,Q（-1，2）,解：（1）由题设，将A（1，0）、B（-3，0）、C（0,3）代入y=ax2+bx+c，,抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；,（2）存在，理由如下：,作点C关于抛物线对称轴直线x=-1的对称点C，由抛物线的性质可知点C在抛物线上，点C的坐标是（-2,3），连接点CA交抛物线的对称轴直线x=-1与点Q，点Q即为所求.设直线CA的解析式为y=kx+m，代入（-2,3）和（0，1）可得k=-1，m=1.所以Q的坐标为（-1,2）；,
