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1、第九章 解析几何第一节 直线与方程本节主要包括3个知识点：1.直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系；2.直线的方程；3.直线的交点、距离与对称问题.突破点(一)直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系 1直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的范围是0，)2直线的斜率公式(1)定义式：若直线l的倾斜角，则斜率ktan_.(2)两点式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1x2，则l的斜率k.3两条直线平行与垂直的判定两条直线平行对于
2、两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2两条直线垂直如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2k1k21.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1l21判断题(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置()(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率()(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大()(4)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(5)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2填空题(1)
3、若过两点A(m,6)，B(1,3m)的直线的斜率为12，则m_.答案：2(2)如图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为_解析：设l1，l2，l3的倾斜角分别为1，2，3.由题图易知032901tan 30tan 1，即k2k3k1.答案：k2k3k1(3)已知直线l1：x2，l2：y，则直线l1与l2的位置关系是_答案：垂直(4)已知直线l1：ax(3a)y10，l2：x2y0.若l1l2，则实数a的值为_解析：由题意，得2，解得a2.答案：2直线的倾斜角与斜率1直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：斜率kktan 0k0ktan
4、0不存在倾斜角锐角0钝角902.在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数ktan 的单调性，如图所示：(1)当取值在内，由0增大到时，k由0增大并趋向于正无穷大；(2)当取值在内，由增大到()时，k由负无穷大增大并趋近于0.解决此类问题，常采用数形结合思想例1(1)直线xsin y20的倾斜角的取值范围是()A0，)B.C.D.(2)已知线段PQ两端点的坐标分别为P(1,1)和Q(2,2)，若直线l：xmym0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是_解析(1)因为直线xsin y20的斜率ksin ，又1sin 1，所以1k1.设直线xsin y20的倾斜角为，所以1tan 1，而0，
5、)，故倾斜角的取值范围是.(2)如图所示，直线l：xmym0过定点A(0，1)，当m0时，kQA，kPA2，kl.2或.解得0m或m0；当m0时，直线l的方程为x0，与线段PQ有交点实数m的取值范围为.答案(1)B(2)易错提醒直线倾斜角的范围是0，)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论由正切函数图象可以看出，当时，斜率k0，)；当时，斜率不存在；当时，斜率k(，0)两直线的位置关系两直线位置关系的判断方法(1)已知两直线的斜率存在两直线平行两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等；两直线垂直两直线的斜率之积为1.(2)已知两直线的斜率不存在若两直
6、线的斜率不存在，当两直线在x轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合例2(1)已知直线l1：3x2ay50，l2：(3a1)xay20，若l1l2，则a的值为()AB6C0D0或(2)已知经过点A(2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，1)和点Q(a，2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为_解析(1)由l1l2，得3a2a(3a1)0，即6a2a0，所以a0或a，经检验都成立故选D.(2)l1的斜率k1a.当a0时，l2的斜率k2.因为l1l2，所以k1k21，即a1，解得a1.当a0时，P(0，1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，A(2，0)，B(1,0)，直线l1
7、为x轴，显然l1l2.综上可知，实数a的值为1或0.答案(1)D(2)1或0方法技巧已知两直线一般方程的两直线位置关系的表示直线方程l1：A1xB1yC10(AB0)l2：A2xB2yC20(AB0)l1与l2垂直的充要条件A1A2B1B20l1与l2平行的充分条件(A2B2C20)l1与l2相交的充分条件(A2B20)l1与l2重合的充分条件(A2B2C20)提醒当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件1.设点P是曲线yx3x上的任意一点，P点处切线的倾斜角的取值范围是()A.B.C.D.解析：
8、选C因为y3x2，即切线斜率k，所以切线倾斜角的取值范围是.2.直线l过点A(1,2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率的取值范围为()A.B0,1C0,2D.解析：选C因为直线过点A(1,2)，且不经过第四象限，作出图象，如图所示，当直线位于如图所示的阴影区域内时满足条件，由图可知，当直线l过A且平行于x轴时，斜率取得最小值，kmin0；当直线l过A(1,2)，O(0,0)时，斜率取得最大值，kmax2，所以直线l的斜率的取值范围是0,2故选C.3.若直线l1：mxy20与直线l2：(2m)xy10互相平行，则实数m的值为()A1B0 C1D2解析：选C直线l1：mxy20与直线l2：(2m
9、)xy10互相平行，解得m1.故选C.4.直线mx4y20与直线2x5yn0垂直，垂足为(1，p)，则n的值为()A12B14C10D8解析：选A由直线mx4y20与直线2x5yn0垂直，得2m200，m10，直线10x4y20过点(1，p)，有104p20，解得p2，点(1，2)又在直线2x5yn0上，则210n0.解得n12.故选A.5.(2018温州五校联考)已知直线l1：ax2y60，l2：x(a1)ya210，若l1l2，则a_.解析：因为直线l1：ax2y60与l2：x(a1)ya210垂直，所以a12(a1)0，解得a.答案：突破点(二)直线的方程 直线方程的五种形式形式几何条件
10、方程适用范围点斜式过一点(x0，y0)，斜率kyy0k(xx0)与x轴不垂直的直线斜截式纵截距b，斜率kykxb与x轴不垂直的直线两点式过两点(x1，y1)，(x2，y2)与x轴、y轴均不垂直的直线截距式横截距a，纵截距b1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0，A2B20平面直角坐标系内所有直线1判断题(1)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程ykxb表示()(2)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()(3)不经过原点的直线都可以用1表示()答案：(1)(2)(3)2填空题(1)直线l经过点
11、(0,1)且倾斜角为60，则直线l的方程为_解析：ktan 60，又直线l过点(0,1)，由点斜式方程得，y1(x0)即xy10.答案：xy10(2)经过点A(2，3)，倾斜角等于直线yx的2倍的直线方程为_解析：直线yx的斜率k1，故倾斜角为，所以所求的直线的倾斜角为，则所求的直线方程为x2.答案：x2(3)已知直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a_.解析：显然a0不符合题意，当a0时，令x0，则l在y轴的截距为2a；令y0，得直线l在x轴上的截距为1.依题意2a1，解得a1或a2.答案：1或2求直线方程例1(1)求过点A(1,3)，斜率是直线y4x的斜率的的直线方程；(2
12、)求经过点A(5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程；(3)求过A(2,1)，B(m,3)两点的直线l的方程解(1)设所求直线的斜率为k，依题意k4.又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y3(x1)，即4x3y130.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为1，将(5,2)代入所设方程，解得a，所以直线方程为x2y10；当直线过原点时，设直线方程为ykx，则5k2，解得k，所以直线方程为yx，即2x5y0.故所求直线方程为2x5y0或x2y10.(3)当m2时，直线l的方程为x2；当m2时，直线l的方程为，即2x(m2)ym60.因为m2时，代入方程2x(m2)ym60，即为x2，所以直线l的方程为2x(m2)ym60.易错提醒(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)与直线方程有关的最值问题例2(1)已知直线x2y2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为_(2)设mR，过定点A的动直线xmy0和
