《浙江版2018年高考数学一轮复习专题8.7立体几何中的向量方法讲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江版2018年高考数学一轮复习专题8.7立体几何中的向量方法讲（49页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第07节 立体几何中的向量方法【考纲解读】考 点考纲内容5年统计分析预测立体几何中的向量方法(1)理解直线的方向向量与平面的法向量.(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).2015浙江文18；理17；2016浙江理17;1.以几何体为载体，综合考查平行或垂直关系证明，以及角与距离的计算.2.利用几何法证明平行、垂直关系，利用空间向量方法求角或距离.3.备考重点： (1) 掌握空间向量的坐标运算；(2)掌握角与距离的计算方法.【知识清单】1. 利用空间向量证明平行问题1.直线的方向向量与平
2、面的法向量的确定直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为2.用向量证明空间中的平行关系设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2(或l1与l2重合)v1v2.设直线l的方向向量为v，与平面共面的两个不共线向量v1和v2，则l或l存在两个实数x，y，使vxv1yv2.设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l或lvu.设平面和的法向量分别为u1，u2，则u1u2.对点练习：【选自2017天津，理17】如
3、图，在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2. （）求证：MN平面BDE；【答案】 （）证明见解析 （）证明：=（0，2，0），=（2，0，）.设，为平面BDE的法向量，则，即.不妨设，可得.又=（1，2，），可得.因为平面BDE，所以MN/平面BDE.2. 利用空间向量证明垂直问题1. 用向量证明空间中的垂直关系 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2v1v2v1v20. 设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则lvu. 设平面和的法向量分别为u1和u2，则u1u2u1u20.2.共线
4、与垂直的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ababa1b1，a2b2，a3b3(R)，abab0a1b1a2b2a3b30(a，b均为非零向量)对点练习：【河南省信阳市期末】已知梯形如下图所示，其中，为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面平面，得到如图所示的几何体.已知当点满足时，平面平面，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C则,，设平面的法向量为，则由得，取，平面的法向量为，则由得，取，因为平面平面，所以，解得.故选C.3. 异面直线所成的角1.两条异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作直线aa，bb，则a与b所夹的
5、锐角或直角叫做a与b所成的角范围：两异面直线所成角的取值范围是向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为，则有.对点练习：【2017课标II，理10】已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A B C D【答案】C【解析】如图所示，补成四棱柱 ,4. 直线与平面所成角1直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，两向量e与n的夹角为，则有sin |cos |.对点练习：【2017浙江，19】（本题满分15分）如图，已知四棱锥PABCD，PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，CDAD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的
6、中点（）证明：平面PAB；（）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值【答案】（）见解析；（）【解析】试题解析： MH是MQ在平面PBC上的射影，所以QMH是直线CE与平面PBC所成的角设CD=1在PCD中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，在PBN中，由PN=BN=1，PB=得QH=，在RtMQH中，QH=，MQ=，所以sinQMH=， 所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是5.二面角1求二面角的大小(1)如图1，AB、CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，(2)如图2、3，分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小(或)对点练习：【2017江苏，22】 如图
7、, 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=, . （1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值； （2）求二面角B-A1D-A的正弦值.【答案】（1）（2） 6 .利用向量求空间距离1空间向量的坐标表示及运算(1)数量积的坐标运算设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab(a1b1，a2b2，a3b3)；a(a1，a2，a3)；aba1b1a2b2a3b3.(2)共线与垂直的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ababa1b1，a2b2，a3b3(R)，abab0a1b1a2b2a3b30(a，b均为非零向
8、量)(3)模、夹角和距离公式设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则|a|，cosa，b.设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则.2. 点面距的求法如图，设AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面的距离d.对点练习：设正方体的棱长为2，则点到平面的距离是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【考点深度剖析】 利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题中的一问为主，主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向空间的角与距离的计算（特别是角的计
9、算）是高考热点，一般以大题的条件或一小问形式呈现，考查用向量方法解决立体几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系，并通过计算解决立体几何问题距离问题往往在与有关面积、体积的计算中加以考查此类问题往往属于“证算并重”题，即第一问用几何法证明平行关系或垂直关系，第二问则通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法进一步求角或距离.浙江卷对空间向量方法考题较少，较为注重几何法的考查.【重点难点突破】考点1 利用空间向量证明平行问题【1-1】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点求证：MN平面A1BD.【答案】MN平面A1BD.则M，N，D(0,0,0
10、)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是，设平面A1BD的法向量是n(x，y，z)则n0，且n0，得取x1，得y1，z1.n(1，1，1)又n(1，1，1)0，n，又MN平面A1BD，MN平面A1BD.法二()，又MN与DA1不共线，MNDA1，又MN平面A1BD，A1D平面A1BD，MN平面A1BD.【1-2】(1)如图所示，在长方体OAEBO1A1E1B1中，|OA|3，|OB|4，|OO1|2，点P在棱AA1上，且|AP|2|PA1|，点S在棱BB1上，且|SB1|2|BS|，点Q、R分别是O1B1、AE的中点，求证：PQRS.【答案】PQRS方法二：设，则，.,/.又RPQ，PQ
11、RS.【领悟技法】证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可这样就把几何的证明问题转化为了数量的计算问题【触类旁通】【变式一】【湖北卷】如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点分别在棱,上移动，且.（1） 当时，证明：直线平面.【答案】直线平面.（1）证明：当时，因为，所以，即，而平面，且平面，故直线平面.考点2 利用空间向量证明垂直问题【2-1】【2017届江西省上饶市二模】如图，在长方体中， ，点为线段上的动点(包含线段端点)，则下列结论正确的_当时， 平面；当时， 平面；的最大值为
12、；的最小值为.【答案】解得，由于，所以平面成立.对于，当时，即，解得，由可知平面成立.对于，设，即，解得，由，其分子化简得，当时， ，故的最大值可以为钝角，错误.对于，根据计算的数据， ,，在对称轴，即时取得最小值为，故错误.【2-2】如图所示，在棱长为1的正方体OABCO1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AEBFx，其中0x1，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz. (1)求证A1FC1E； (2)若A1，E，F，C1四点共面，求证：. 【答案】（1）A1FC1E；（2）. (2)(x,1，1)，(1,1,0)，(0，x，1)，设，解得，1.【领悟技法】1. 证明直线与直
13、线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明2.要证明两线垂直，需转化为两线对应的向量垂直，进一步转化为证明两向量的数量积为零，这是证明两线垂直的基本方法，线线垂直是证明线面垂直，面面垂直的基础3.证明线面垂直，可利用判定定理如本题解法4.用向量证明两个平面垂直，关键是求出两个平面的法向量，把证明面面垂直转化为法向量垂直【触类旁通】【变式一】【广东省广州市普通高中毕业班综合测试】如图5，在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在棱上，且满足.（1）求证：；（2）在棱上确定一点，使、四点共面，并求此时的长.【答案】（1）；（2）故当时，、四点共面.所以，因为，所以，所以；（2）设，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，所以存在实数，使得，因为，所以，所以，所以，故当时，、四点共面.考点3 异面直线所成的角【3-1】【2017届浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等高三下五校联考】正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【3-2】长方体ABCDA
