《江苏专用2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.6双曲线教师用书理苏教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏专用2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.6双曲线教师用书理苏教版（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第九章 平面解析几何 9.6 双曲线教师用书 理 苏教版1.双曲线定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合PM|MF1MF2|2a，F1F22c，其中a，c为常数且a0，c0.(1)当2aF1F2时，P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c实
2、虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A22a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B22b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2a2b2 (ca0，cb0)【知识拓展】巧设双曲线方程(1)与双曲线1(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为t(t0).(2)过已知两个点的双曲线方程可设为1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(3)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()(5)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线).(
3、)1.(教材改编)若双曲线1 (a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为_.答案解析由题意得b2a，又a2b2c2，5a2c2.e25，e.2.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y216x的准线交于A，B两点，AB4，则C的实轴长为_.答案4解析由题设C：1.抛物线y216x的准线为x4，联立1和x4，得A(4，)，B(4，)，AB24，a2，2a4.C的实轴长为4.3.(2016无锡一模)已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为yx，那么双曲线的离心率为_.答案解析根据题意，设双曲线的方程为1，则，所以 ，即双曲线的离心率为.4.(2016江苏)在平面
4、直角坐标系xOy中，双曲线1的焦距是_.答案2解析由已知，a27，b23，则c27310，故焦距为2c2.5.双曲线y21的顶点到其渐近线的距离等于_.答案解析双曲线的一个顶点坐标为(2,0)，一条渐近线方程是yx，即x2y0，则顶点到渐近线的距离d.题型一双曲线的定义及标准方程命题点1利用定义求轨迹方程例1已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_.答案x21(x1)解析如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得MC1AC1MA，MC2BC2MB，因为MAMB，所以MC1AC1MC2BC
5、2，即MC2MC1BC2AC12，所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于C1C26.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a1，c3，则b28.故点M的轨迹方程为x21(x1).命题点2利用待定系数法求双曲线方程例2根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；(3)经过两点P(3,2)和Q(6，7).解(1)设双曲线的标准方程为1或1(a0，b0).由题意知，2b12，e.b6，c10，a8.双曲线的标准方程为1或1.(2)双曲线经过点M(0,12)，M(0,12)为双
6、曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12.又2c26，c13，b2c2a225.双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线方程为mx2ny21(mn0).解得双曲线的标准方程为1.命题点3利用定义解决焦点三角形问题例3已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左，右焦点，点P在C上，PF12PF2，则cosF1PF2_.答案解析由双曲线的定义有PF1PF2PF22a2，PF12PF24，则cosF1PF2.引申探究1.本例中，若将条件“PF12PF2”改为“F1PF260”，则F1PF2的面积是多少？解不妨设点P在双曲线的右支上，则PF1PF22a2，在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF2，所以
7、PF1PF28，所以PF1PF2sin 602.2.本例中，若将条件“PF12PF2”改为“0”，则F1PF2的面积是多少？解不妨设点P在双曲线的右支上，则PF1PF22a2，由于0，所以，所以在F1PF2中，有PFPFF1F，即PFPF16，所以PF1PF24，所以PF1PF22.思维升华(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程.(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1PF2|2a，运用平方的方法，建立与PF1PF2的联系.(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再
8、根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为(0)，再由条件求出的值即可.(1)已知F1，F2为双曲线1的左，右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则APAF2的最小值为_.(2)设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左，右焦点，双曲线上存在一点P使得PF1PF23b，PF1PF2ab，则该双曲线的离心率为_.答案(1)2(2)解析(1)由题意知，APAF2APAF12a，要求APAF2的最小值，只需求APAF1的最小值，当A，P，F1三点共线时，取得最小值，则APAF1PF1，APAF2
9、的最小值为APAF12a2.(2)不妨设P为双曲线右支上一点，PF1r1，PF2r2.根据双曲线的定义，得r1r22a，又r1r23b，故r1，r2.又r1r2ab，所以ab，解得(负值舍去)，故e.题型二双曲线的几何性质例4(1)(2016盐城三模)若圆x2y2r2过双曲线1的右焦点F，且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为A，B，当四边形OAFB为菱形时，双曲线的离心率为_.(2)(2015山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：1(a0，b0)的渐近线与抛物线C2：x22py(p0)交于点O，A，B.若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为_.答案(1)2(2)解析(1)
10、若四边形OAFB为菱形，且点A在圆x2y2r2上，则点A坐标为(，c)，此时rc.又点A在渐近线上，所以c，即，所以e 2.(2)由题意，不妨设直线OA的方程为yx，直线OB的方程为yx.由得x22p x，x，y，A.设抛物线C2的焦点为F，则F，kAF.OAB的垂心为F，AFOB，kAFkOB1，即1，.设C1的离心率为e，则e21.e. 思维升华双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线1(a0，b0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k满足关系式e21k2.(2016全国甲卷改编)已知F1，F2是双曲线E：1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则E的离
11、心率为_.答案解析离心率e，由正弦定理得e.题型三直线与双曲线的综合问题例5(2016苏州模拟)已知椭圆C1的方程为y21，双曲线C2的左，右焦点分别是C1的左，右顶点，而C2的左，右顶点分别是C1的左，右焦点.(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且2(其中O为原点)，求k的取值范围.解(1)设双曲线C2的方程为1(a0，b0)，则a2413，c24，再由a2b2c2，得b21.故C2的方程为y21.(2)将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线C2有两个不同的交点，得k2且k22，得x1x2y1y22，2，即0，解得
12、k23，由得k21.故k的取值范围为(1，)(，1).思维升华(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程.当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式来判定.(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：1.设过点M(0,1)的直线l与双曲线C交于A，B两点若2，则直线l的斜率为_答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1.又2，(x1,1y1)，(x2，y21)所以即代入双曲线方程联立解得或所以A(4,3)，B(2,0)或A(4,3)，B(2,0)，故k或k，即直线l的斜率为.10.直线与圆锥曲线的交点典例已知双曲线x21，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？
