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1、课时跟踪检测(十) 抛物线及其标准方程层级一学业水平达标1抛物线y12x2上的点到焦点的距离的最小值为()A3 B6C D解析:选C将方程化为标准形式是x2y,因为2p,所以p故到焦点的距离最小值为2已知抛物线y22px(p0)的准线与圆(x3)2y216相切,则p的值为()A B1C2 D4解析:选C抛物线y22px的准线x与圆(x3)2y216相切,1,即p23已知抛物线C:y28x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若4,则|QF|()A BC3 D2解析:选C过点Q作QQl交l于点Q,因为4,所以|PQ|PF|34,又焦点F到准线l的距离为4,所以|QF|Q
2、Q|3故选C4设圆C与圆x2(y3)21外切,与直线y0相切,则C的圆心轨迹为()A抛物线 B双曲线C椭圆 D圆解析:选A由题意知,圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y0的距离大1,即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y1的距离相等,根据抛物线的定义可知,所求轨迹是一条抛物线5已知双曲线C1:1(a0,b0)的离心率为2若抛物线C2:x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为()Ax2y Bx2yCx28y Dx216y解析:选D双曲线的渐近线方程为yx,由于 2,所以,所以双曲线的渐近线方程为yx抛物线的焦点坐标为,所以2,所以p8,所以抛物线方程为
3、x216y6抛物线xy2的焦点坐标是_解析:方程改写成y24mx,得2p4m,p2m,即焦点(m,0)答案:(m,0)7若抛物线y24x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是_解析:设点M的横坐标为x,则点M到准线x1的距离为x1,由抛物线的定义知x110,x9,点M到y轴的距离为9.答案:98对标准形式的抛物线,给出下列条件:焦点在y轴上;焦点在x轴上;抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为(2,1)其中满足抛物线方程为y210x的是_(要求填写适合条件的序号)解析:抛物线y210x的焦点在x轴上,满足,不满足;设M(1,y0)是y210x
4、上一点,则|MF|116,所以不满足;由于抛物线y210x的焦点为,过该焦点的直线方程为yk,若由原点向该直线作垂线,垂足为(2,1)时,则k2,此时存在,所以满足答案:9已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点M(m,3)到焦点的距离为5,求m的值、抛物线方程和准线方程解:法一:如图所示,设抛物线的方程为x22py(p0),则焦点F,准线l:y,作MNl,垂足为N,则|MN|MF|5,而|MN|3,35,即p4所以抛物线方程为x28y,准线方程为y2由m28(3)24,得m2法二:设所求抛物线方程为x22py(p0),则焦点为FM(m,3)在抛物线上,且|MF|5,故解得抛物线方程
5、为x28y,m2,准线方程为y210如图所示,一隧道内设双行线公路,其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成,为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有05米(1)以抛物线的顶点为原点O,其对称轴所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如图),求该抛物线的方程;(2)若行车道总宽度AB为7米,请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到01米)?解:如图所示(1)依题意,设该抛物线的方程为x22py(p0),因为点C(5,5)在抛物线上,所以该抛物线的方程为x25y(2)设车辆高为h,则|DB|h05,故D(35,h65),代入方程x25y,解得h405,所以
6、车辆通过隧道的限制高度为40米层级二应试能力达标1过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为()A圆B椭圆C直线 D抛物线解析:选D设P为满足条件的点,则点P到点A的距离等于点P到y轴的距离,即点P在以点A为焦点,y轴为准线的抛物线上,所以点P的轨迹为抛物线故选D2抛物线y24x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当FPM为等边三角形时,其面积为()A2 B4C6 D4解析:选D如图,FPM是等边三角形由抛物线的定义知PMl在RtMQF中,|QF|2,QMF30,|MF|4,SPMF424故选D3已知抛物线x24y上有一条长为6的动弦AB,则AB中点到x轴的最短距离为(
7、)ABC1D2解析:选D设AB的中点为M,焦点为F(0,1)过M作准线l:y1的垂线MN,过A作ACl于C,过B作BDl于D,则|MN|3,所以AB中点到x轴的最短距离为312,此时动弦AB过焦点,故选D4设抛物线C:y22px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|5若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为()Ay24x或y28x By22x或y28x Cy24x或y216x Dy22x或y216x解析:选C由已知得抛物线的焦点F,设点A(0,2),抛物线上点M(x0,y0),则,由已知得,0,即y8y0160,因而y04,M由|MF|5得, 5,又p0,解得p2或p8,故选C5设F为
8、抛物线y24x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若0,则|_解析:因为0,所以点F为ABC的重心,则A,B,C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍,即xAxBxC3,所以|xA1xB1xC16答案:66从抛物线y24x上的一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|5,设抛物线的焦点为F,则MPF的内切圆的面积为_解析:如图,|PM|5,点P的坐标为(4,4),SPMF5410设PMF的内切圆圆心为O,半径为r,SPMFSO PMSO PFSO MF,即(552)r10,解得r,故PMF内切圆的面积为r2答案:7已知M是抛物线y22px(p0)上任一点(不与原点重合),F是其焦点求证:以M
9、F为直径的圆与y轴相切证明:如图,过M作MNl于N,交y轴于点Q,O是MF的中点,作ORy轴于R|MF|MN|,|OF|OP|QN|,|OR|(|OF|QM|)(|QM|QN|)|MN|MF|,以MF为直径的圆与y轴相切8设P是抛物线y24x上的一个动点,F为抛物线的焦点(1)若点P到直线x1的距离为d,A(1,1),求|PA|d的最小值;(2)若B(3,2),求|PB|PF|的最小值解:(1)依题意,抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x1由抛物线的定义,知|PF|d,于是问题转化为求|PA|PF|的最小值如图,连接AF,交抛物线于点P,则最小值为(2)把点B的横坐标代入y24x中,得y,因为2,所以点B在抛物线内部自点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1(如图)由抛物线的定义,知|P1Q|P1F|,则|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|314即|PB|PF|的最小值为4