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1、层级快练(五十六)1若椭圆1过点(2,),则其焦距为()A2B2C4 D4答案D解析椭圆过(2,),则有1,b24,c216412,c2,2c4.故选D.2已知椭圆1(ab0)的焦点分别为F1,F2,b4,离心率为.过F1的直线交椭圆于A,B两点,则ABF2的周长为()A10 B12C16 D20答案D解析如图,由椭圆的定义知ABF2的周长为4a,又e,即ca,a2c2a2b216.a5,ABF2的周长为20.3已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,且长轴长为12,离心率为,则该椭圆方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析2a12,a6,c2,b232.椭圆的方程为1.4若椭圆1的离
2、心率为,则k的值为()A21B21C或21 D.或21答案C解析若a29,b24k,则c.由,即,得k;若a24k,b29,则c.由,即,解得k21.5若椭圆x2my21的焦点在y轴上,且长轴长是短轴长的两倍则m的值为()A. B.C2 D4答案A解析将原方程变形为x21.由题意知a2,b21,a,b1.2,m.6如图,已知椭圆C:1(ab0),其中左焦点为F(2,0),P为C上一点,满足|OP|OF|,且|PF|4,则椭圆C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析设椭圆的焦距为2c,右焦点为F1,连接PF1,如图所示由F(2,0),得c2.由|OP|OF|OF1|,知PF1PF.在
3、RtPFF1中,由勾股定理,得|PF1|8.由椭圆定义,得|PF1|PF|2a4812,从而a6,得a236,于是b2a2c236(2)216,所以椭圆C的方程为1.7若焦点在x轴上的椭圆1的离心率为,则m等于()A. B.C. D.答案B解析a22,b2m,c22m.e2.m.8(2018郑州市高三预测)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与椭圆交于A,B两点,若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则椭圆的离心率为()A. B2C.2 D.答案D解析设|F1F2|2c,|AF1|m,若ABF1是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则|AB|AF1|m,|BF1|m
4、.由椭圆的定义可得ABF1的周长为4a,即有4a2mm,即m(42)a,则|AF2|2am(22)a,在RtAF1F2中,|F1F2|2|AF1|2|AF2|2,即4c24(2)2a24(1)2a2,即有c2(96)a2,即c()a,即e,故选D.9(2018贵州兴义第八中学第四次月考)设斜率为的直线l与椭圆1(ab0)交于不同的两点,且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为()A. B.C. D.答案C解析由题意知,直线l与椭圆1(ab0)两个交点的横坐标是c,c,所以两个交点分别为(c,c),(c,c),代入椭圆得1,两边同乘2a2b2,则c2(2b2a2)2a2
5、b2.因为b2a2c2,所以c2(3a22c2)2a42a2c2,所以2或.又因为0eb0)的离心率为,四个顶点构成的四边形的面积为4,过原点的直线l(斜率不为零)与椭圆C交于A,B两点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则四边形AF1BF2的周长为()A4 B4C8 D8答案C解析由解得周长为4a8.11(2018黑龙江大庆一模)已知直线l:ykx与椭圆C:1(ab0)交于A,B两点,其中右焦点F的坐标为(c,0) ,且AF与BF垂直,则椭圆C的离心率的取值范围为()A,1) B(0,C(,1) D(0,)答案C解析由AF与BF垂直,运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半,可得|OA|OF|
6、c,由|OA|b,即cb,可得c2b2a2c2,即c2a2,可得eb0)e,.根据ABF2的周长为16得4a16,因此a4,b2,所以椭圆方程为1.13(2018上海市十三校联考)若椭圆的方程为1,且此椭圆的焦距为4,则实数a_答案4或8解析当焦点在x轴上时,10a(a2)22,解得a4.当焦点在y轴上时,a2(10a)22,解得a8.14(2018山西协作体联考)若椭圆C:1(ab0)的左、右焦点与短轴的两个顶点组成一个面积为1的正方形,则椭圆C的内接正方形的面积为_答案解析由已知得,a1,bc,所以椭圆C的方程为x21,设A(x0,y0)是椭圆C的内接正方形位于第一象限内的顶点,则x0y0
7、,所以1x022y023x02,解得x02,所以椭圆C的内接正方形的面积S(2x0)24x02.15已知F1、F2为椭圆1(ab0)的左、右焦点,M为椭圆上一点,MF1垂直于x轴,且F1MF260,则椭圆的离心率为_答案解析方法一:|F1F2|2c,MF1x轴,|MF1|c,|MF2|c.2a|MF1|MF2|2c.e.方法二:由F1(c,0),将xc代入1,得y,.b2a2c2,即.解得e(舍),e.16(2018上海虹口一模)一个底面半径为2的圆柱被与底面所成角是60的平面所截,截面是一个椭圆,则该椭圆的焦距等于_答案4解析底面半径为2的圆柱被与底面成60的平面所截,其截面是一个椭圆,这个
8、椭圆的短半轴长为2,长半轴长为4.a2b2c2,c2,椭圆的焦距为4.17(2017浙江金丽衢十二校联考)已知F1,F2分别是椭圆C:1(ab0)的左、右焦点若椭圆C上存在点P,使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2,则椭圆C的离心率的取值范围是_答案,1)解析设P(x,y),则|PF2|aex,若椭圆C上存在点P,使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2,则|PF2|F1F2|,aex2c,x.axa,a,eb0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB90,求椭圆的离心率;(2)若椭圆的焦距为2,且2,求椭圆的方程答案(1)(2)1解
9、析(1)若F1AB90,则AOF2为等腰直角三角形所以有|OA|OF2|,即bc.所以ac,e.(2)由题知A(0,b),F2(1,0),设B(x,y),由2,解得x,y.代入1,得1.即1,解得a23.所以椭圆方程为1.19(2014课标全国)设F1,F2分别是椭圆C:1(ab0)的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|5|F1N|,求a,b.答案(1)(2)a7,b2解析(1)根据c及题设知M,2b23ac.将b2a2c2代入2b23ac,解得,2(舍去)故C的离心率
10、为.(2)由题意,原点O为F1F2的中点,MF2y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点故4,即b24a.由|MN|5|F1N|,得|DF1|2|F1N|.设N(x1,y1),由题意知y12,故0kb0),且c,离心率e,a2b2c2,得a2,b1,椭圆的标准方程为x21.设|PF1|m,|PF2|n,则mn4,mncosF1PF2,又(2c)2(2)2m2n22mncosF1PF2,12422mn2,解得mn.cosF1PF2,cosF1PF2,F1PF2,故选D.3已知A(3,0),B(2,1)是椭圆1内的点,M是椭圆上的一动点,则|MA|MB|的最大值与最小值之和为
11、()A20 B12C22 D24答案A解析易知A为椭圆的右焦点,设左焦点为F1,由题知|MF1|MA|10,因此,|MA|MB|10|MB|MF1|.|MA|MB|10|BF1|,|MA|MB|10|BF1|.|MA|MB|的最大值与最小值之和为20.选A.4(2018人大附中模拟)椭圆1(ab0)的两焦点为F1、F2,以F1F2为边作正三角形若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为()A. B.C42 D.1答案D5已知中心在原点,长轴在x轴上,一焦点与短轴两端点连线互相垂直,焦点与长轴上较近顶点的距离为4(1),则此椭圆方程是_答案1解析由题意,得解得所以椭圆方程为1.6若点O和点F分别为椭圆y21的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则|OP|2|PF|2的最小值为_答案2解析由题意可知,O(0,0),F(1,0),设P(cos,sin),则|OP|2|PF|22cos2sin2(cos1)2sin22cos22cos32(cos)22,所以当co