《2019届高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.9第1课时直线与圆锥曲线学案理北师大版》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2019届高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.9第1课时直线与圆锥曲线学案理北师大版(19页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、9.9圆锥曲线的综合问题最新考纲考情考向分析1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法2.了解圆锥曲线的简单应用3.理解数形结合的思想.以考查直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系为背景,主要涉及弦长、中点、面积、对称、存在性问题题型主要以解答题形式出现,属于中高档题.1直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程:ax2bxc0(或ay2byc0)(1)若a0,可考虑一元二次方程的判别式,有0直线与圆锥曲线相交;0直线与圆锥曲线相切;0)上,且直线AB过抛物线的焦点,则y1y2p2.()题组二教材改编2过点(0,1)作直线,使它与
2、抛物线y24x仅有一个公共点,这样的直线有()A1条 B2条C3条 D4条答案C解析过(0,1)与抛物线y24x相切的直线有2条,过(0,1)与对称轴平行的直线有一条,这三条直线与抛物线都只有一个公共点3已知与向量v(1,0)平行的直线l与双曲线y21相交于A,B两点,则|AB|的最小值为_答案4解析由题意可设直线l的方程为ym,代入y21得x24(1m2),所以x12,x22,所以|AB|x1x2|44,即当m0时,|AB|有最小值4.题组三易错自纠4过抛物线y22x的焦点作一条直线与抛物线交于A,B两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线()A有且只有一条 B有且只有两条C有且只有三条
3、D有且只有四条答案B解析设该抛物线的焦点为F,A(xA,yA),B(xB,yB),则|AB|AF|FB|xAxBxAxB132p2.所以符合条件的直线有且只有两条5(2018届江西省南昌市三模)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且F1PF2,则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为_答案6已知双曲线1(a0,b0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x22py(p0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|c,则双曲线的渐近线方程为_答案yx解析抛物线的准线方程为y,焦点为F,a22c2.设抛物线的准线y交双曲线于M,N两点,即1,解得xa,2a2c.
4、又b2c2a2,由,得2.11,解得1.双曲线的渐近线方程为yx.第1课时范围、最值问题题型一范围问题典例 (2016天津)设椭圆1(a)的右焦点为F,右顶点为A.已知,其中O为原点,e为椭圆的离心率(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BFHF,且MOAMAO,求直线l的斜率的取值范围解(1)设F(c,0),由,即,可得a2c23c2.又a2c2b23,所以c21,因此a24.所以椭圆的方程为1.(2)设直线l的斜率为k(k0),则直线l的方程为yk(x2)设B(xB,yB),由方程组消去y,整理得(4k23)
5、x216k2x16k2120.解得x2或x.由题意得xB,从而yB.由(1)知,F(1,0),设H(0,yH),有(1,yH),.由BFHF,得0,所以0,解得yH.因此直线MH的方程为yx.设M(xM,yM),由方程组消去y,解得xM.在MAO中,由MOAMAO,得|MA|MO|,即(xM2)2yxy,化简,得xM1,即1,解得k或k.所以直线l的斜率的取值范围为.思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的简单性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系(3)利用隐含的不
6、等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围跟踪训练 (2018开封质检)已知椭圆C:1(ab0)与双曲线y21的离心率互为倒数,且直线xy20经过椭圆的右顶点(1)求椭圆C的标准方程;(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M,N两点,且直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列,求OMN面积的取值范围解(1)双曲线的离心率为,椭圆的离心率e.又直线xy20经过椭圆的右顶点,右顶点为点(2,0),即a2,c,b1,椭圆方程为y21.(2)由题意可设直线的方
7、程为ykxm(k0,m0),M(x1,y1),N(x2,y2)联立消去y,并整理得(14k2)x28kmx4(m21)0,则x1x2,x1x2,于是y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2.又直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列,故k2,则m20.由m0得k2,解得k.又由64k2m216(14k2)(m21)16(4k2m21)0,得0m22,显然m21(否则x1x20,x1,x2中至少有一个为0,直线OM,ON中至少有一个斜率不存在,与已知矛盾)设原点O到直线的距离为d,则SOMN|MN|d|x1x2|m|.故由m的取值范围可得OMN面积的取值范围为(0,1)题
8、型二最值问题命题点1利用三角函数有界性求最值典例 过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,点O是坐标原点,则|AF|BF|的最小值是()A2 B. C4 D2答案C解析设直线AB的倾斜角为,可得|AF|,|BF|,则|AF|BF|4.命题点2数形结合利用几何性质求最值典例 在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2y21右支上的一个动点若点P到直线xy10的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为_答案解析双曲线x2y21的渐近线为xy0,直线xy10与渐近线xy0平行,故两平行线的距离d.由点P到直线xy10的距离大于c恒成立,得c,故c的最大值为.命题点3转化为函数利用基本不等式或二
9、次函数求最值典例 (2017山东)在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:1(ab0)的离心率为,焦距为2.(1)求椭圆E的方程;(2)如图,动直线l:yk1x交椭圆E于A,B两点,C是椭圆E上一点,直线OC的斜率为k2,且k1k2.M是线段OC延长线上一点,且|MC|AB|23,M的半径为|MC|,OS,OT是M的两条切线,切点分别为S,T.求SOT的最大值,并求取得最大值时直线l的斜率解(1)由题意知e,2c2,所以c1,所以a,b1,所以椭圆E的方程为y21.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程得(4k2)x24k1x10.由题意知0,且x1x2,x1x2,所以|AB|x1x2
10、| .由题意可知,圆M的半径r为r|AB|,由题设知k1k2,所以k2,因此直线OC的方程为yx.联立方程得x2,y2,因此|OC|.由题意可知,sin.而,令t12k,则t1,(0,1),因此1,当且仅当,即t2时等号成立,此时k1,所以sin ,因此,所以SOT的最大值为.综上所述,SOT的最大值为,取得最大值时直线l的斜率为k1.思维升华 处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是利用几何法,即通过利用曲线的定义、简单性质以及平面简单中的定理、性质等进行求解;二是利用代数法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解跟踪训练 (2018邢台模拟)已知椭圆y21上两个不同的点A,B关于直线ymx对称(1)求实数m的取值范围;(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点)解(1)由题意知m0,可设直线AB的方程为yxb.由消去y,得x2xb210.因为直线yxb与椭圆y21有两个不同的交点,所以2b220,将AB的中点M代入直线方程ymx,解得b,由得m或m.(2)令t,则t2.则|AB|,且O到直线AB的