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1、1固体物理补充习题（十四系用）1. 将半径为 R 的刚性球分别排成 简单立方（sc） 、体心立方（bcc）和面心立方（fcc）三种结构，在这三种结构的间隙中分别填入半径为 rp、r b 和 rf 的小刚球，试分别求出rp/R、r b/R 和 rf/R 的最大值。提示：每一种晶体结构中都有多种不同的间隙位置，可填充小刚球的大小也各不相同。2. 格常数为 a 的简单二维密排晶格 的基矢可以表为a1 = a ia2 = a i + a j 32(1)求出其倒格子基矢 b1 和 b2 , 证明倒格子仍为二维密排格子；(2)求出其倒格子原胞的面积 b 。 3. 由 N 个原子（或离子）所组成的晶体的体积
2、 V 可以写为 VNv = Nr3，其中 v 为平均一个原子（或离子）所占的体积，r 为最近邻原子（或离子）间的距离，是依赖于晶体结构的常数，试求下列各种晶体结构的值:(1) sc 结构 (2) fcc 结构 (3) bcc 结构(4) 金刚石结构 (5) NaCl 结构。4. 设两原子间的相互作用能可表示为mnurr其中，第一项为吸引能；第二项为排斥能；、n 和 m 均为大于零的常数。证明，要使这个两原子系统处于稳定平衡状态，必须满足 n m 。5. 设晶体的总相互作用能可表示为 mnABUrr其中，A、B、m 和 n 均为大于零的常数，r 为最近邻原子间的距离。根据平衡条件求：(1)平衡时
3、，晶体中最近邻原子的间距 r0和晶体的相互作用能 U0；(2)设晶体的体积可表为 VN r3，其中 N 为晶体的原子总数， 为体积因子。若平衡时晶体的体积为 V0，证明：平衡时晶体的体积压缩模量 K 为。09nK6. 设有一由 2N 个离子组成的离子晶体，若只计入作近邻离子间的排斥作用，设两个离子间的势能具有如下的形式：（最近邻间）（最近邻以外）er2R/ur式中，和 为参数；R 为最近邻离子间距。若晶体的 Madelung 常数为，最近邻的离子数为 Z，求平衡时晶体总相互作用势能的表达式。7. 由 N 个原子组成的一维单原子晶体，格波方程为 ，若其端点固定，cosnxAtnaq(1)证明所形
4、成的格波具有驻波性质，格波方程可表为 ；isit2(2)利用边界条件 xN = 0，求 q 的分布密度和波数的总数；(3)将所得结果与周期性边界条件所得的结果进行比较并讨论之。8. 由 2N 个（设 N 很大）带电荷q 的正负离子相间排列的一维晶体链，最近邻之间的排斥能为 B/Rn，(1)试证在平衡时，晶体链的互作用能为；200ln14UR(2)若晶体被压缩，使 ，设 1，证明在晶体被压缩过程中，外力对每一个离子所做的功的主项平均为 ，其中，21c。201ln4qcR9. 由 N 个原子组成的一维单原子链，原子间的相互作用能可表为， 126urx其中 x 为原子间距。试求(1)平衡时的原子间距
5、 x0 与相互作用能 u0；(2)若只考虑近邻原子间 的相互作用，求原子链的弹性模量 K。10. 若一维单原子链的格波方程取为 ，证明：nxAcotnaq(1)格波的总能量为 ，这里 m 为原子质量，为恢复力22111Emnndxt系数，求和指标 n 遍及所有原子；(2)每个原子的 时间平均总能量 。211. 质量分别为 M 和 m（设 M m）的两种原子以 和 相间排成如图所示的一维晶体链，a13若只考虑近邻原子间的弹性相互作用，设相邻原子间的恢复力系数同为， (1)写出每种原子的动力学方程式；(2)写出格波方程式；(3)导出色散关系式。12. 在坐标纸上画出二维正方晶格的前五个布里渊区图形
6、。13. 由 N 个原子组成的一维(链长为 L)、二维( 面积为 S)和三维(体积为 V)简单晶格晶体，设格波的传播速度为 c，应用 Debye 模型分别计算：(1)晶格振动的模式密度 g()；(2)截止频率 m；(3)Debye 温度 D；(4)晶格热容 CV；(5)晶体的零点振动能 E0 (用 N 和 m 表示)。14. 由 N 个质量为 m 的原子组成的一维单原子链，近邻原子间距为 a，相互作用的力常数为，用格波模型求：(1)晶格振动的模式密度 g()；(2)晶体的零点能 E0；a31 m M n-1 n-1 n n n+1 n+1 3(3)晶格的热容量 CV ； 15. 在高温下（k
7、BT m） ，试用 Debye 模型求三维简单晶格频率从 0 到 m 中总的平均声子数 (已知晶体体积为 V，格波的传播速度为 c )。16. 在高温下（T D） ，根据 Debye 理论证明由 N 个原子组成的 d 维晶体的晶格热容为(1)一维: C V = NkB ;1362T(2)二维: C V = 2NkB ;242D(3)三维: C V = 3NkB 。102T17. Grneisen 常数(1)证明频率为 i的声子模式的自由能为；ln2iBBkTshk(2)以表示体积相对改变，那么单位体积晶体的自由能可以表为 21E, ln2iBiBTshkT其中 B 为体积弹性模量。假设 i(q
8、)与体积的依赖关系为 / = ，其中为Grneisen 常数。如果将看作与模式无关，证明当时，F 相对于 为极小。12iii Bcthk18. 已知三维晶体在 q 0 附近一支光学波的色散关系为2xyzAq其中 Ax、A y、A z 为大于零的常数，试求这支光学波 的模式密度 g()的表达式。19. 在 Debye 近似下证明 T0 时，三维晶体中一个原子的 均方位移为2238DRc其中 为晶体的质量密度，c 为声速， D为 Debye 截止频率。提示：一个格波的平均能量可参考补充题 10(2)及 T0 时一个格波的能量 12E。20. 对于 Cu，形成一个 Schottky 空位所需的能量为
9、 1.2 eV，形成一个间隙原子的能量为 4 eV。在接近熔点时(1300 K)，试估算晶体中空位的浓度和间隙原子的浓度，并比较这两种浓度的数量级差。21. 若晶体中原子的总数为 N，间隙位置的总数为 N，形成一个 Frenkel 缺陷所需的能量为uf 。在一定的温度下，平衡时晶体中有 nf 个 Frenkel 缺陷，试由 = 0 导出平衡时FnfTFrenkel 缺陷数目的表达式，设 nf N，N 。22. 已知 1100C 时，碳在 Fe 中的扩散系数 D 6.710 7 cm2/s。若保持表面处碳的浓度不变，要得到 d = 1 mm 厚的渗碳层（碳的浓度为表面处的一半） ，问在此温度下需
10、要扩散多长时间？（erf(0.500) = 0.52050，erf(0.477) = 0.50005 ）423. 设有某种简单立方晶体，熔点为 800C，由熔点结晶后，晶粒大小为 L1 m 的立方体，晶格常数 a = 410 10 m。求结晶后每个晶粒中的空位数，已知空位的形成能为 1 eV。若晶体在高温形成的空位，降到室温后聚集到一个晶面上，形成一个空位园片，以致引起晶体内部的崩塌，结果将转变为何种形式的晶格缺陷？求出此时每个晶粒中的位错密度。24. 证明在 T0 K 时，金属中自由电子气的状态方程为 PV5/3 const. , 这里 P 为电子气的压强，V 为金属的体积。已知 Cu 的电
11、子密度 n = 8.451022 cm 3，计算 Cu 中电子气的压强为多少个大气压。 （提示：利用热力学第一定律）25. 证明 T0 时自由电子气的体积弹性模量 ，这里 U 为自由电子的总能量，V 为109K金属的体积。若已知钾的电子密度为 1.41022 cm 3，求钾的体积弹性模量。26. 在长为 L 的一维金属链中共有 N 个自由电子，在 T0 K 时，求：(1)电子的能态密度 N(E)；(2)晶体链的费米能级 EF0；(3)一个电子的平均能量 。27. 假设每个铜原子贡献一个自由电子，试计算室温（300 K）下电子气体的热容量，并将所得结果与铜的总热容量 24 J/molK 的数值进
12、行比较。已知铜的原子量为 63.5，密度为 8.9 g/cm3。28. 证明电子密度为 n 的二维自由电子气的化学势可由下式给出,TkmkTBBlexp21其中 m 为电子质量。29. 在低温下，金属钾摩尔热容量的实验结果可表为C = ( 2.08T+2.57T3 ) 10 3 J/mol.K ,试求：(1)钾的 Debye 温度 D ；(2)Fermi 温度 TF；(3)在 Fermi 面上一摩尔金属的电子能态密度 N(EF0)。30. 已知 Cu 的电子密度为 n = 8.451022 cm 3，Debye 温度 D = 315 K。(1)求当 T 为何值时，电子热容等于晶格热容？(2)计
13、算 T300 K 时一摩尔 Cu 的电子顺磁磁化率 。31. 利用 Sommerfeld 展开式证明，在 kBT EF0 时一个自由电子的平均动能近似为。220153FE32. 已知 Na 为 bcc 结构，晶格常数为 a = 4.2810 10 m，(1)用自由电子模型计算其 Hall 系数 RH；(2)设有一长方形 Na 晶片，长为 ，宽为 5 mm，厚为 1 mm。若沿晶片长边方向通以 100 mA的电流，并将其置于 0.1 T 的磁场中（磁场方向垂直于晶片） ，求 Hall 电压 VH 的大小。33. 若一维晶体势为5V(x) =0 na x (n1)a dU0 (n1)ad x (n
14、 1)a其中 a = 2d 。用近自由电子近似求前两个不为零的能隙。34. 一维周期场中电子波函数 k(x)应当满足 Bloch 定理，若晶格常数为 a，电子波函数为(1) ;sinkx(2) ;3coka(3) ;kxf(4) 。kix试求电子在这些状态中的简约波矢和广延波矢。35. 分别求出二维正方晶格简约区中沿M 和 XZM 轴自由电子能量函数 En(k) 能量最低的前四条曲线的表达式，画出其示意图并给出各曲线的简并度。36. 分别 求出简单立方晶格简约区中沿X 和 R 轴自由电子能量函数 En(k)能量最低的前五条曲线的表达式，画出其示意图并给出各曲线的简并度。37. 由同种原子组成的
15、二维密排结构晶体，原子间距为 a，作图画出其前三个布里渊区图形，并求：(1)每个原子有一个价电子时的费米半径 kF；(2)第一布里渊区的内切园半径 k1；(3)内切园为费米园时的电子浓度 1 (即平均每个原子的价电子数)；(4)每个原子有两个价电子时的费米半径，画出简约区中近自由电子近似的费米面图形。38. 分别求 fcc 和 bcc 结构中第一布里渊区的外接球为费米球时各自所对应的电子浓度（平均每个原子的自由电子数） 。若分别有一 fcc 和 bcc 结构的三价金属，那么，其第一布里渊区的电子是否已完全填满？39. 设有晶格常数为 a，2a 和 3a 的简单正交晶体，求：(1)第一布里渊区体积 b 并画出其图形；(2)在自由电子近似下，费米面与第一布里渊区边
