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1、【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.4 平面向量应用举例 理1向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理ababx1y2x2y10，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0垂直问题数量积的运算性质abab0x1x2y1y20，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos (为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量|a|，其中a(x，y)，a为非零向量长度问题数量积的定义(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题向量问题解决向量问
2、题解决几何问题2平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即WFs|F|s|cos (为F与s的夹角)3平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；
3、二是利用向量数量积的公式和性质【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若，则A，B，C三点共线()(2)向量b在向量a方向上的投影是向量()(3)若ab0，则a和b的夹角为锐角，若ab0，则a和b的夹角为钝角()(4)在ABC中，若0，则ABC为钝角三角形()(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A(2，1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：t()，tR，则点P的轨迹方程是xy10.()1已知等边ABC的边长为1，则|34|_.答案解析因为|34|29241625241113，所以|34|.2已知在ABC中，|10，16，D为边BC的中点，则|_.答案3解析在
4、ABC中，由余弦定理可得，AB2AC22ABACcos ABC2，又|cos A16，所以AB2AC232100，AB2AC268.又D为边BC的中点，所以2，两边平方得4|2683236，解得|3.3设O是ABC内部一点，且2，则AOB与AOC的面积之比为_答案12解析设D为AC的中点，如图所示，连结OD，则2.又2，所以，即O为BD的中点，从而容易得AOB与AOC的面积之比为12.4已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60，则力F所做的功W_ J.答案300解析WFs|F|s|cosF，s6100cos 60300(J)5平面上有三个点A
5、(2，y)，B，C(x，y)，若，则动点C的轨迹方程为_答案y28x(x0)解析由题意得，又，0，即0，化简得y28x(x0).题型一向量在平面几何中的应用例1已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足()，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的_(填“内心”“外心”“重心”或“垂心”)答案重心解析由原等式，得()，即()，根据平行四边形法则，知是ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过ABC的重心引申探究在本例中，若动点P满足，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的_答案内心解析由条件，得，即，而和分别表示平行于，的单位向量，故平分
6、BAC，即平分BAC，所以点P的轨迹必过ABC的内心思维升华解决向量与平面几何综合问题，可先利用基向量或坐标系建立向量与平面图形的联系，然后通过向量运算研究几何元素之间的关系(1)在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点若1，则AB_.(2)平面四边形ABCD中，0，()0，则四边形ABCD的形状是_答案(1)(2)菱形解析(1)在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则，又，()()22|2|cos 60|21|21.|0，又|0，|.(2)0平面四边形ABCD是平行四边形，()0，所以平行四边形ABCD是菱形题型二向量在解析几何中的应用例2(1)已知向量(k,12)，(4
7、,5)，(10，k)，且A、B、C三点共线，当k0时，若k为直线的斜率，则过点(2，1)的直线方程为_(2)设O为坐标原点，C为圆(x2)2y23的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足0，则_.答案(1)2xy30(2)解析(1)(4k，7)，(6，k5)，且，(4k)(k5)670，解得k2或k11.由k0可知k2，则过点(2，1)且斜率为2的直线方程为y12(x2)，即2xy30.(2)0，OMCM，OM是圆的切线，设OM的方程为ykx，由，得k，即.思维升华向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题关键是利用向量的意义、运算，脱去“向量外
8、衣”；(2)工具作用，利用abab0；abab(b0)，可解决垂直、平行问题(2015江西重点中学盟校第一次联考)已知圆C：(x2)2y24，圆M：(x25cos )2(y5sin )21(R)，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，则的最小值是_答案6解析圆(x2)2y24的圆心C(2,0)，半径为2，圆M(x25cos )2(y5sin )21，圆心M(25cos ，5sin )，半径为1，CM521，故两圆相离如图所示，设直线CM和圆M交于H，G两点，则最小值是，HCCM1514，HE2，sin CHE，cosEHFcos 2CHE12sin2CHE，|cosE
9、HF226.题型三向量的综合应用例3(1)已知x，y满足若(x,1)，(2，y)，且的最大值是最小值的8倍，则实数a的值是_(2)函数ysin(x)在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是最高点、最低点，O为坐标原点，且0，则函数f(x)的最小正周期是_答案(1)(2)3解析(1)因为(x,1)，(2，y)，所以2xy，令z2xy，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，观察图象可知，当目标函数z2xy过点C(1,1)时，zmax2113，目标函数z2xy过点F(a，a)时，zmin2aa3a，所以383a，解得a.(2)由图象可知，M，N，所以(xN，1)xN10，解得xN2，所以
10、函数f(x)的最小正周期是23.思维升华利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|2，则点集P|，|1，R所表示的区域面积是_答案4解析由|2，知，.当0，0，1时，在OAB中，取，过点C作CDOB交AB于点D，作DEOA交OB于点E，显然.由于，(1)，(1)，1时，点P在线段AB上，0，0，1时，点P必在OAB内(包括边界)考虑|1的其他情形，点P构成的集合恰好是以AB为一边，以OA，OB为对角线一半的矩形，其面积为S4SOAB422sin 4.三审图形抓特点典例(2
11、015太原一模)已知A，B，C，D是函数ysin(x)一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则， 的值分别为_审题路线图解析由E为该函数图象的一个对称中心，作点C的对称点为M，作MFx轴，垂足为F，如图B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，知OF.又A，所以AF，所以2.同时函数ysin(x)图象可以看作是由ysin x的图象向左平移得到，故可知，即.答案2，温馨提醒对于在图形中给出解题信息的题目，要抓住图形的特点，通过图形的对称性、周期性以及图形中点的位置关系提炼条件，尽快建立图形和欲
12、求结论间的联系 方法与技巧1向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题2以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法失误与防范1注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价2注意向量共线和两直线平行的关系3利用向量解决解析几何中的平行与垂直，可有效解决因斜率不存在使问题漏解的情况A组专项基础训练(时间：40分钟)1在ABC中，()|2，则ABC的形状是_三角形答案直角解析由()|2，得()0，即()0，20，A90.又根据已知条件不能得到|，故ABC是直角三角形2已知点A(2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足x2，则点P的轨迹是_答案抛物线解析(2x，y)，(3x，y)，(2x)(3x)y2x2，y2x
