《（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.1 空间几何体的结构及其表面积、体积 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.1 空间几何体的结构及其表面积、体积 理（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.1 空间几何体的结构及其表面积、体积 理1空间几何体的结构特征(1)多面体棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形(2)旋转体圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到2空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用斜二
2、测画法，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为45(或135)，z轴与x轴、y轴所在平面垂直(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半3柱、锥、台和球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR34.常用结论(1)与体积有关的几个结论一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差底面面积及高都相等的两个同类几何体
3、的体积相等(2)几个与球有关的切、接常用结论a正方体的棱长为a，球的半径为R，若球为正方体的外接球，则2Ra；若球为正方体的内切球，则2Ra；若球与正方体的各棱相切，则2Ra.b若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R.c正四面体的外接球与内切球的半径之比为31.(3)斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”“三不变”【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥()(3)用斜二测画法画水平放置的A时，若A的两边分别平行于x轴和y轴，且
4、A90，则在直观图中，A45.()(4)圆柱的侧面展开图是矩形()(5)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算()(6)菱形的直观图仍是菱形()1下列说法正确的是_相等的角在直观图中仍然相等；相等的线段在直观图中仍然相等；正方形的直观图是正方形；若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行答案解析由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变故正确2已知圆锥的表面积等于12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为_ cm.答案2解析S表r2rlr2r2r3r212，r24，r2(cm)3将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积
5、是_答案2解析底面圆半径为1，高为1，侧面积S2rh2112.4将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BDa，则三棱锥DABC的体积为_答案a3解析O是AC的中点，连结DO，BO，ADC，ABC都是等腰直角三角形因为DOBOa，BDa，所以BDO也是等腰直角三角形又因为DOAC，DOBO，ACBOO，所以DO平面ABC，即DO就是三棱锥DABC的高因为SABCa2，所以三棱锥DABC的体积为a2aa3.5用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是_答案解析平面图形的直观图为正方形，且其边长为1，对角线长为，所以原平面图形为平行四边形，且位于x轴
6、上的边长仍为1，位于y轴上的对角线长为2.题型一空间几何体的结构特征例1(1)给出下列命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等其中正确命题的个数是_(2)下列结论：以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是球其中正确结论的
7、序号是_(3)设有以下四个命题：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；底面是矩形的平行六面体是长方体；直四棱柱是直平行六面体；棱台的相对侧棱延长后必交于一点其中真命题的序号是_答案(1)0(2)(3)解析(1)不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图1所示；不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等 图1图2(2)这条边若是直角三
8、角形的斜边，则得不到圆锥，错；这条腰若不是垂直于两底的腰，则得到的不是圆台，错；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面是显然成立的，正确；如果用不平行于圆锥底面的平面截圆锥，则得到的不是圆锥和圆台，错；只有球满足任意截面都是圆面，正确(3)命题符合平行六面体的定义，故命题是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题是错误的；命题由棱台的定义知是正确的思维升华(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱
9、锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析给出下列命题：棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；存在每个面都是直角三角形的四面体其中正确命题的序号是_答案解析不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；正确，如图，正方体AC1中的三棱锥C1ABC，四个面都是直角
10、三角形题型二空间几何体的直观图例2已知ABC是ABC的直观图，且ABC是边长为a的正三角形，求ABC的面积解建立如图所示的坐标系xOy，ABC的顶点C在y轴上，边AB在x轴上，把y轴绕原点逆时针旋转45得y轴，在y轴上取点C使OC2OC，A，B点即为A，B点，长度不变已知ABACa，在OAC中，由正弦定理得，所以OCaa，所以原三角形ABC的高OCa，所以SABCaaa2.引申探究1若本例改为“已知ABC是边长为a的正三角形，求其直观图ABC的面积”，应如何求？解由斜二测画法规则可知，直观图ABC一底边上的高为aa，故其面积SABCaaa2.2.本例中的直观图若改为如图所示的直角梯形，ABC4
11、5，ABAD1，DCBC，则原图形的面积为_答案2解析如图，在直观图中，过点A作AEBC，垂足为E，则在RtABE中，AB1，ABE45，BE.而四边形AECD为矩形，AD1，ECAD1.BCBEEC1.由此可还原原图形如图，是一个直角梯形在原图形中，AD1，AB2，BC1，且ADBC，ABBC，原图形的面积为S(ADBC)AB22.思维升华用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x轴或y轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连结而画出如图，矩形OABC是水平放置的
12、一个平面图形的直观图，其中OA6 cm，CD2 cm，则原图形是_正方形； 矩形；菱形； 一般的平行四边形答案解析如图，在原图形OABC中，应有OD2OD224(cm)，CDCD2 cm.OC6(cm)，OAOC，四边形OABC是菱形题型三求空间几何体的表面积例3(1)(2014山东)一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_答案12解析由题意知该六棱锥为正六棱锥，设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h.由题意，得62h2，h1，斜高h2，S侧62212.(2)如图，斜三棱柱ABCABC中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA与底面相邻两边AB
13、与AC都成45角，求此斜三棱柱的表面积解如图，过A作AD平面ABC于D，过D作DEAB于E，DFAC于F，连结AE，AF，AD.则由AAEAAF，AAAA，又由题意知AEAB，AFAC，得RtAAERtAAF，AEAF，DEDF，AD平分BAC，又ABAC，BCAD，BCAA，而AABB，BCBB，四边形BCCB是矩形，斜三棱柱的侧面积为2absin 45ab(1)ab.又斜三棱柱的底面积为2a2a2，斜三棱柱的表面积为(1)aba2.思维升华(1)解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合情况；(2)在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和一个
