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1、14.2圆的方程考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度201320142015201620171.圆的标准方程1.求圆的标准方程2.圆的标准方程的应用C填空题解答题2.圆的一般方程1.求圆的一般方程2.圆的一般方程的应用C填空题解答题分析解读江苏高考中一般都会考查圆的方程,有时候会单独考查,有时候会和椭圆在一起综合考查.五年高考考点一圆的标准方程1.(2016天津,12,5分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为.答案(x-2)2+y2=92.(2016北京,5,5分)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3
2、的距离为.答案3.(2015课标,14,5分)一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.答案+y2=考点二圆的一般方程1.(2016浙江,10,6分)已知aR,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是,半径是.答案(-2,-4);52.(2015重庆改编,8,5分)已知直线l:x+ay-1=0(aR)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=.答案6三年模拟A组20162018年模拟基础题组考点一圆的标准方程1.(2017江苏苏州暑期调研,12)圆心在抛物线y=x2上
3、,并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为.答案(x1)2+=12.(苏教必2,二,2,7,变式)若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是.答案(x-2)2+=3.(苏教必2,二,2,8,变式)圆心在曲线y=(x0)上,且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为.答案(x-1)2+(y-2)2=54.(苏教必2,二,2,6,变式)已知圆M的圆心在x轴上,且圆心在直线l1:x=-2的右侧,若圆M截直线l1所得的弦长为2,且与直线l2:2x-y-4=0相切,则圆M的方程为.答案(x+1)2+y2=4考点二圆的一般方程5.(苏教必2,二,2,3,变式)一圆
4、经过A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距的和为2,此圆的方程为.答案x2+y2-2x-12=06.(2018江苏扬州中学高三月考)二次函数y=x2+bx(b0,b1)的图象与x轴交于O,A两点,交直线l:y=x于O,B两点,过O,A,B三点作圆C.(1)求证:当b变化时,圆C的圆心在一条定直线上;(2)求证:圆C经过除原点外的一个定点.证明(1)在y=x2+bx(b0,b1)中,分别令y=0,y=x,易得A(-b,0),B(1-b,1-b).圆C过原点,设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey=0,则故经过O,A,B三点的圆C的方程为x2+y2+bx+(b-2)y=0,设圆C
5、的圆心坐标为(x0,y0),则x0=-,y0=-,y0=x0+1,这说明当b变化时,圆C的圆心在定直线y=x+1上.(2)设圆C过定点(m,n),则m2+n2+bm+(b-2)n=0,整理得(m+n)b+m2+n2-2n=0,它对任意b0,b1恒成立,或故当b变化时,圆C经过除原点外的一个定点,坐标为(-1,1).7.(2016江苏姜堰期中,17)已知ABC的顶点坐标分别是A(-1,0),B(2,),C(1,-2),O为坐标原点.(1)求ABC外接圆的方程;(2)设P为ABC外接圆上任意一点,求|OP|的最大值和最小值.解析(1)设ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,代入A,B
6、,C的坐标,得解得所以ABC外接圆的方程为x2+y2-2x-3=0.(2)设圆上任意一点P(x0,y0),则+-2x0-3=0,所以|OP|2=+=2x0+3,又ABC外接圆的标准方程为(x-1)2+y2=4,所以x0-1,3,所以|OP|2的最小值为1,最大值为9,所以|OP|的最小值为1,最大值为3.B组20162018年模拟提升题组(满分:10分时间:10分钟)填空题(每小题5分,共10分)1.(2018江苏南通中学高三测试)过圆x2+y2=1上任意一点P作两直线分别交圆于A、B两点,且APB=60,则PA2+PB2的取值范围是.答案(3,62.(2017江苏天一中学质检)若第一象限内的
7、动点P(x,y)满足+=1,R=xy,则以P为圆心,R为半径且面积最小的圆的方程为.答案(x-3)2+=C组20162018年模拟方法题组方法1求圆的方程的方法1.如图,已知圆O的直径AB=4,定直线l到圆心的距离为4,且直线l垂直于直线AB.点P是圆O上异于A,B的任意一点,直线PA,PB分别交l于M,N两点.(1)若PAB=30,求以MN为直径的圆的方程;(2)当点P变化时,求证:以MN为直径的圆必过圆O内的一定点.解析如图,建立直角坐标系,得A(-2,0),B(2,0),O的方程为x2+y2=4,直线l的方程为x=4.(1)当点P在x轴上方时,因为PAB=30,所以点P的坐标为(1,),
8、所以lAP:y=(x+2),lBP:y=-(x-2).将x=4分别代入,得M(4,2),N(4,-2),所以线段MN的中点坐标为(4,0),MN=4.所以以MN为直径的圆的方程为(x-4)2+y2=12.同理,当点P在x轴下方时,所求圆的方程仍是(x-4)2+y2=12.综上,以MN为直径的圆的方程为(x-4)2+y2=12.(2)证明:设点P的坐标为(x0,y0),则y00,所以+=4(y00),所以=4-.易知lPA:y=(x+2),lPB:y=(x-2),将x=4分别代入,得yM=,yN=,所以M,N,所以MN=,线段MN的中点坐标为,以MN为直径的圆O截x轴所得的线段长度为2=4.则圆
9、O与x轴的两交点坐标分别为(4-2,0),(4+2,0).又(4-2)2=28-164,所以圆O必过圆O内定点(4-2,0).方法2与圆有关的最值问题的求解方法2.(2018江苏扬州中学月考)在直角坐标系xOy中,圆C1:x2+y2=8,圆C2:x2+y2=18,点M(1,0),动点A、B分别在圆C1和圆C2上,满足,则|+|的取值范围是.答案4,63.已知实数x,y满足关系式:x2+y2-6x-4y+12=0,点P(x,y),A(-1,0),B(1,0).(1)求的最大值和最小值;(2)求x-y的最大值和最小值;(3)求|PA|2+|PB|2的最大值与最小值.解析(1)圆C:(x-3)2+(y-2)2=1,圆心C(3,2),半径为1.设=k,则当直线y=kx与圆C相切时,取得最值.此时=1,解得k=,的最大值为,最小值为.(2)设x-y=t,则当直线y=x-t与圆C相切时,x-y取得最值.此时=1,t=1,x-y的最大值为1+,最小值为1-.(3)设|PA|2+|PB|2=m2,则有x2+y2=,m22.当圆x2+y2=与圆C相切时,|PA|2+|PB|2取得最值,此时1=,解得m2=304.|PA|2+|PB|2的最大值为30+4,最小值为30-4.
