《2018高考数学一轮复习 第5章 数列 第2节 等差数列教师用书 文 北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018高考数学一轮复习 第5章 数列 第2节 等差数列教师用书 文 北师大版（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节第二节 等差数列等差数列 考纲传真 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3. 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差 数列与一次函数的关系 1等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那 么这个数列就叫作等差数列用符号表示为an1and(nN N*，d为常数) (2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A，其中A叫作a，b的 ab 2 等差中项 2等差数列的有关公式 (1)通项公式：ana1(n1)d. (2)前n项和公式：Snna1. nn1d
2、2 na1an 2 3等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN N*) (2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN N*)，则akalaman. (3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为 2d. (4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列 (5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN N*)是公差为md的等 差数列 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数 列( ) (2)数列an为等差数
3、列的充要条件是对任意nN N*，都有 2an1anan2.( ) (3)等差数列an的单调性是由公差d决定的( ) (4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2等差数列an的前n项和为Sn，且S36，a30，则公差d等于( ) A1 B1 C2 D2 D D 依题意得S33a26，即a22，故da3a22，故选 D. 3(2015全国卷)设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5( ) A5 B7 C9 D11 A A a1a3a53a33a31，S55a35. 5a1a5 2 4(2016全国卷)已知等差数列an前
4、 9 项的和为 27，a108，则a100( ) A100 B99 C98 D97 C C 法一：an是等差数列，设其公差为d， S9 (a1a9)9a527，a53. 9 2 又a108，Error!Error! a100a199d199198.故选 C. 法二：an是等差数列， S9 (a1a9)9a527，a53. 9 2 在等差数列an中，a5，a10，a15，a100成等差数列，且公差 da10a5835. 故a100a5(201)598.故选 C. 5(教材改编)在 100 以内的正整数中有_个能被 6 整除的数. 【导学号：66482239】 16 由题意知，能被 6 整除的数构
5、成一个等差数列an， 则a16，d6，得an6(n1)66n. 由an6n100，即n16 16 ， 4 6 2 3 则在 100 以内有 16 个能被 6 整除的数 等差数列的基本运算 (1)(2015全国卷)已知an是公差为 1 的等差数列，Sn为an的 前n项和，若S84S4，则a10( ) A. B 17 2 19 2 C10 D12 (2)(2017云南省二次统一检测)设等差数列an的前n项和为 Sn，S1122，a412，若am30，则m( ) 【导学号：66482240】 A9 B10 C11 D15 (1 1)B B (2 2)B B (1)公差为 1， S88a118a128
6、，S44a16. 8 81 2 S84S4，8a1284(4a16)，解得a1 ， 1 2 a10a19d 9. 1 2 19 2 (2)设等差数列an的公差为d，依题意Error!解得Error! ama1(m1)d7m4030，m10. 规律方法 1.等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量 a1，an，d，n，Sn，知三求二，体现了方程思想的应用 2数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数 列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法 变式训练 1 (1)已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足1，则数列an S3 3 S2 2 的公
7、差是( ) A. B1 1 2 C2 D3 (2)设Sn为等差数列an的前n项和，a128，S99，则S16_. 【导学号：66482241】 (1)C C (2)72 (1)Sn，又1， na1an 2 Sn n a1an 2 S3 3 S2 2 得1，即a3a22， a1a3 2 a1a2 2 数列an的公差为 2. (2)设等差数列an的首项为a1，公差为d， 由已知，得Error!解得Error! S16163(1)72. 16 15 2 等差数列的判定与证明 已知数列an中，a1 ，an2(n2，nN N*)，数列bn满足bn 3 5 1 an1 (nN N*) 1 an1 (1)求
8、证：数列bn是等差数列 (2)求数列an中的通项公式an. 解 (1)证明：因为an2(n2，nN N*)， 1 an1 bn. 1 an1 所以n2 时，bnbn1 1 an1 1 an11 1. 5 分 1 (2 1 an1)1 1 an11 an1 an11 1 an11 又b1 ， 1 a11 5 2 所以数列bn是以 为首项，1 为公差的等差数列. 7 分 5 2 (2)由(1)知，bnn ，9 分 7 2 则an11. 12 分 1 bn 2 2n7 规律方法 1.判断等差数列的解答题，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和 前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断 2用
9、定义证明等差数列时，常采用两个式子an1and和anan1d，但它们的 意义不同，后者必须加上“n2” ，否则n1 时，a0无定义 变式训练 2 (1)若an是公差为 1 的等差数列，则a2n12a2n是( ) 【导学号：66482242】 A公差为 3 的等差数列 B公差为 4 的等差数列 C公差为 6 的等差数列 D公差为 9 的等差数列 (2)在数列an中，若a11，a2 ，(nN N*)，则该数列的通项为( ) 1 2 2 an1 1 an 1 an2 Aan 1 n Ban 2 n1 Can 2 n2 Dan 3 n (1)C C (2)A A (1)a2n12a2n(a2n32a2
10、n2) (a2n1a2n3)2(a2na2n2) 2226， a2n12a2n是公差为 6 的等差数列 (2)由已知式可得，知是首项为 2 an1 1 an 1 an2 1 an1 1 an 1 an2 1 an1 1 an 1，公差为211 的等差数列，所以n，即an . 1 a1 1 a2 1 a1 1 an 1 n 等差数列的性质与 最值 (1)(2017东北三省四市一联)如图 521 所示的数阵中，每行、每 列的三个数均成等差数列，如果数阵中所有数之和等于 63，那么a52( ) 【导学号：66482243】 ( a41 a42 a43 a51 a52 a53 a61 a62 a63)
11、 图 521 A2 B8 C7 D4 (2)等差数列an中，设Sn为其前n项和，且a10，S3S11，则当n为多少时，Sn取 得最大值 (1)C C 法一：第一行三数成等差数列，由等差中项的性质有a41a42a433a42，同 理第二行也有a51a52a533a52，第三行也有a61a62a633a62，又每列也成等差数列， 所以对于第二列，有a42a52a623a52，所以 a41a42a43a51a52a53a61a62a633a423a523a6233a5263，所以 a527，故选 C. 法二：由于每行每列都成等差数列，不妨取特殊情况，即这 9 个数均相同，显然满足 题意，所以有 63
12、97，即a527，故选 C. (2)法一：由S3S11，可得 3a1d11a1d，4 分 3 2 2 11 10 2 即da1. 7 分 2 13 从而Snn2n(n7)2a1， d 2 (a1 d 2) a1 13 49 13 因为a10，所以0，S3S11可知d0，a80，d0 时，满足Error!的项数m使得Sn取得最小值为Sm. 变式训练 3 (1)在等差数列an中，a3a927a6，Sn表示数列an的前n项和， 则S11( ) 【导学号：66482244】 A18 B99 C198 D297 (2)设等差数列an的前n项和为Sn，且S510，S1030，则S15( ) A60 B70
13、 C90 D40 (1)B B (2)A A (1)因为a3a927a6,2a6a3a9，所以 3a627，所以a69，所以 S11(a1a11)11a699. 11 2 (2)因为数列an为等差数列，所以S5，S10S5，S15S10也成等差数列，设S15x， 则 10,20，x30 成等差数列，所以 22010(x30)，所以x60，即S1560. 思想与方法 1等差数列的通项公式，前n项和公式涉及“五个量” ， “知三求二” ，需运用方程思 想求解，特别是求a1和d. (1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设 为，a2d，ad，a，ad，a2d，. (2)若偶数个数成等差数列且和为定
14、值时，可设为，a3d，ad，ad，a3d，. 2等差数列an中，ananb(a，b为常数)，SnAn2Bn(A，B为常数)，均是关于 “n”的函数，充分运用函数思想，借助函数的图像、性质简化解题过程 3等差数列的四种判断方法： (1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列 (2)等差中项法：2an1anan2(nN N*)an是等差数列 (3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列 (4)前n项和公式：SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列 易错与防范 1要注意概念中的“从第 2 项起” 如果一个数列不是从第 2 项起，每一项与它前一 项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列 2注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别 3求等差数列的前n项和Sn的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条 件
