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1、单元综合检测(十)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015柳州月考)复数的共轭复数是a+bi(a,bR),i是虚数单位,则点(a,b)为()A.(2,1)B.(2,-1)C.(1,2)D.(1,-2)1.A【解析】复数=(-i)(1+2i)=2-i的共轭复数是2+i,则点(a,b)为(2,1).2.执行如图所示的程序框图,输出的x值为()A.4B.5C.6D.72.C【解析】该程序框图运行4次,各次的x,y的值分别为3,8;4,16;5,32;6,64,所以输出的x的值为6.3.如果复数 (其中i为虚数单位,b为实数)的实部和虚部互为相反数,那么b等于()A.-6B.C.-D.23.C
2、【解析】复数i的实部和虚部互为相反数,则=0,解得b=-.4.(2015南昌三模)在平面几何中有如下结论:正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则,推广到空间,可以得到类似结论;已知正四面体P-ABC的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则=()A.B.C.D.4.D【解析】从平面图形类比空间图形,从二维类比三维,可得如下结论:正四面体的外接球和内切球的半径之比是31,故正四面体P-ABC的内切球体积V1与外接球体积V2之比.5.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的x值是()A.3B.4C.6D.85.D【解析】依次列出运行结果.该程序框图运行3次,k的值分别是2,3,4,所以
3、输出的x=8.6.设x,y,zR*,a=x+,b=y+,c=z+,则a,b,c()A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于26.C【解析】假设a,b,c三数都小于2,则a+b+c6.又x,y,zR+,a+b+c=x+y+z+2+2+2=6,当且仅当x=y=z=1时取等号,与矛盾,所以假设不成立,即a,b,c三数中至少有一个不小于2.7.(2015太原一模)执行如图所示的程序框图,则输出的a=()A.20B.14C.10D.77.C【解析】该程序框图共运行2015次,a的值依次是5,14,7,20,10,5,14,以5为周期重复出现,所以输出的a=10.二、填空题(每小
4、题5分,共25分)8.已知函数f(x)满足:f(1)=,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,yR),则f(2020)=.8.-【解析】令y=1,得f(x)=f(x+1)+f(x-1),则f(x+1)=f(x+2)+f(x),则f(x+2)=-f(x-1)=f(x-4),所以函数f(x)的周期是6,则f(2020)=f(4)=-f(1)=-.9.复数z=,则|z|=.9.1【解析】利用复数的运算法则和模的概念求解.因为z=-i,所以|z|=|-i|=1.10.(2015广东七校联考)某程序框图如图所示,该程序运行后,输出的x值为31,则a等于.10.3【解析】利用程序框图确定运行
5、次数.该程序框图运行3次,各次x的值分别为2a+1,4a+3,8a+7,所以8a+7=31,解得a=3.11.(2014陕西高考)观察分析下表中的数据:多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是.11.F+V-E=2【解析】观察表格可知,当多面体为三棱柱时,5+6-9=2,当多面体为五棱锥时,6+6-10=2,当多面体为立方体时,6+8-12=2,归纳可得F,V,E所满足的等式是F+V-E=2.12.(2015湖北黄冈中学模拟)计算+2+3+n,可以采用以下方法:构造等式: x+x2+xn=(1+x)n,两边对x求导
6、,得+2x+3x2+nxn-1=n(1+x)n-1,在上式中令x=1,得+2+3+n=n2n-1.类比上述计算方法,计算+22+32+n2=.12.n(n+1)2n-2【解析】在+2x+3x2+nxn-1=n(1+x)n-1两边同时乘以x,得x+2x2+3x3+nxn=nx(1+x)n-1,两边同时对x求导可得+22x+32x2+n2xn-1=n(1+x)n-1+n(n-1)x(1+x)n-2,令x=1得+22+32+n2=n(n+1)2n-2.三、解答题(共60分)13.(12分)已知复数z1=+(a2-3)i,z2=2+(3a+1)i(aR,i是虚数单位).若复数z1-z2在复平面上对应点
7、落在第一象限,求实数a的取值范围.13.【解析】由已知可得z1-z2=+(a2-3a-4)i,因为z1-z2在复平面上对应点落在第一象限,故有所以解得-2a-1.14.(12分)(2015郴州校级期中考试)已知一个程序语句如图.(1)若输入x的值为0,求输出y的值;(2)若输出y的值为3,求输入x的值.INPUT“x=”;xIF x=2 THENy=x*xELSEy=2*x-3ENDIFPRINTyEND14.【解析】模拟执行程序,可得程序的功能是计算并输出y=的值.(1)输入x的值为0,由于x2),可解得x=或3,故输入x的值为或3.15.(12分)用综合法证明:a+b+c (a,b,cR+
8、).15.【解析】a,b,cR+,a+b2,b+c2,c+a2,(a+b)+(b+c)+(c+a)2+2+2,即2(a+b+c)2(),a+b+c,当且仅当a=b=c时取等号,a+b+c.16.(12分)是否存在常数c,使得不等式c对任意正整数x,y恒成立?证明你的结论.16.【解析】当x=y=1时,有c,此时c=.下面证明对任意正整数x,y恒成立.先证对任意正整数x,y恒成立.因为x,y是正整数,所以要证,只要证3x(x+2y)+3y(2x+y)2(x+2y)(2x+y),化简后即证x2+y22xy,显然成立,故对任意正整数x,y恒成立;再证,只要证3x(2x+y)+3y(x+2y)2(x+
9、2y)(2x+y),化简后即证x2+y22xy,显然成立,故对任意正整数x,y恒成立.综上所述,存在常数c=,使得不等式c对任意正整数x,y恒成立.17.(12分)各项均为正数的数列xn对一切nN+均满足xn+2.(1)证明:xnxn+1;(2)证明:1-xn0,xn+2,所以0,且2-xn0.因为-xn=0,所以xn,所以xnxn+1,即xn1-.当n=1时,由题设x10可知结论成立;假设当n=k时,xk1-成立,当n=k+1时,由(1)得xk+1=1-.由可得xn1-.下面证明xn1,则一定存在自然数m,使得xk1+.因为xk+=1+,xk+2,xk+m-1=2,与题设xk+xk=1,根据上述证明可知存在矛盾.所以xn1成立.综上可知1-xn1成立.
