《（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.5 平行与垂直的综合应用 文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.5 平行与垂直的综合应用 文（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.5 平行与垂直的综合应用 文1.证明方法(1)证明平行关系的方法：证明线线平行的常用方法a.利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；b.利用平行四边形进行转换；c.利用三角形中位线定理证明；d.利用线面平行、面面平行的性质定理证明.证明线面平行的常用方法a.利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证线线平行；b.利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证面面平行.证明面面平行的方法证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平
2、行.(2)证明空间中垂直关系的方法：证明线线垂直的常用方法a.利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；b.利用勾股定理逆定理；c.利用线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可.证明线面垂直的常用方法a.利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；b.利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证面面垂直；c.利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从
3、现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决.2.应特别注意的几个易错点定理图形语言易错点等角定理AOBAOB易忽略“方向相同”线面平行的判定定理a易丢掉“a”或“b”线面平行的性质定理ab易忽略“b”直线和平面垂直的判定定理l易忽略“abO”两个平面垂直的性质定理a易忽略“a”面面平行的判定定理易忽略“abO”面面平行的判定定理的推论易忽略“abO”或“cdO”【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若平面外一条直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面平行.()(2)若直线a，P，则过点P且平行于a的直线有无数条.()(3)若ab，bc
4、，则ac.()(4)，为三个不同平面，.()(5)若，且l，则l.()(6)，a，bab.()1.(教材改编)如图，已知平面，且AB，PC，垂足为C，PD，垂足为D，则直线AB与CD的位置关系是_.答案ABCD解析PC，PCAB，又PD，PDAB，AB平面PCD，ABCD.2.已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别为B1C1，A1D1，A1B1的中点，则平面EBD与平面FGA的位置关系为_.答案平行3.如图所示，边长为a的正ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知AED是AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中错误的是_.动点A在平面ABC上的射影在线段AF上；恒有平面AG
5、F平面BCED；三棱锥AFED的体积有最大值；异面直线AE与BD不可能互相垂直.答案解析由题意知，DE平面AFG，又DE平面ABC，所以平面AFG平面ABC，且它们的交线是AF，过A作AHAF，则AH平面ABC，所以A在平面ABC上的射影一定在线段AF上，且平面AGF平面BCED，故均正确；三棱锥AEFD的体积可以表示为VSEFDAH，当平面ADE平面ABC时，AH最大，故三棱锥AEFD的体积有最大值，故正确；连结CD，EH，当CDEH时，BDEH，又知EH是AE在平面ABC内的射影，所以BDAE，因此异面直线AE与BD可能垂直，故错误.4.已知点P是等腰三角形ABC所在平面外一点，且PA平面
6、ABC，PA8，在ABC中，底边BC6，AB5，则P到BC的距离为_.答案4解析取BC的中点D，连结AD，PD.ADBC，PABC，且ADPAA，BC平面PAD，BCPD，在RtPAD中，PD4.5.(教材改编)如图，在三棱锥VABC中，VABVACABC90，则平面VBA与平面VBC的位置关系为_.答案垂直解析VABVACABC90，BCAB，VAAC，VAAB，由VA平面ABC，VABC，由BC平面VABBCAB，又BC平面VBC，平面VBC平面VBA.题型一线、面平行垂直关系的判定例1(1)如图所示，在直棱柱ABCA1B1C1中，若D是AB的中点，则AC1与平面CDB1的关系为_.AC1
7、平面CDB1；AC1在平面CDB1中；AC1与平面CDB1相交；无法判断关系.(2)已知m，n为直线，为平面，给出下列命题：n；mn；mn.其中正确的命题是_.答案(1)(2)解析(1)连结BC1，BC1与CB1交于E点，(如图)连结DE，则DEAC1，又DE平面CDB1，AC1平面CDB1，AC1平面CDB1.(2)对于，n可能在内；对于，m与n可能异面.易知，是真命题.思维升华对线面平行、垂直关系的判定：(1)易忽视判定定理与性质定理的条件，如易忽视线面平行的判定定理中直线在平面外这一条件；(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断；(3)可举反例否定结论或用反证法判断结论是否正确.(
8、1)在正方形SG1G2G3中，E，F分别为G1G2，G2G3的中点.现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使点G1，G2，G3重合，记为点G，则SG与平面EFG的位置关系为_.答案垂直解析翻折后SGEG，SGFG，从而SG平面EFG.(2)已知三个平面，.若，a，b，且直线c，cb.判断c与的位置关系，并说明理由；判断c与a的位置关系，并说明理由.解c，与没有公共点.又c，c与无公共点，故c.ca.，与没有公共点.又a，b，a，b，且a，b，ab.又cb，ac.题型二平行与垂直关系的证明命题点1线面平行的证明例2在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，C1D1的中点
9、.求证：EF平面BB1D1D.证明如图所示，连结AC交BD于点O，连结OE，则OEDC，OEDC.DCD1C1，DCD1C1，F为D1C1的中点，OED1F，OED1F，四边形D1FEO为平行四边形，EFD1O.又EF平面BB1D1D，D1O平面BB1D1D，EF平面BB1D1D.命题点2面面平行的证明例3如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1.(1)求证：平面A1BD平面B1D1C.(2)若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1平面FBD.证明(1)B1BDD1，B1BD1D，四边形BB1D1D是平行四边形，B1D1BD，又BD平面A1BD，B1D1平面B1D1C，BD
10、平面B1D1C.同理A1D平面B1D1C，又A1DBDD，A1D，BD平面A1BD，平面A1BD平面B1D1C.(2)由BDB1D1，得BD平面EB1D1.如图所示，取BB1的中点G，连结AG，GF，易得AEB1G，又AEB1G，四边形AEB1G是平行四边形，B1EAG.同理GFAD.又GFAD，四边形ADFG是平行四边形，AGDF，B1EDF，DF平面EB1D1.又BDDFD，平面EB1D1平面FBD.命题点3直线与平面垂直的证明例4如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC、BD相交于点O，EFAB，AB2EF，平面BCF平面ABCD，BFCF，点G为BC的中点.(1)求证：
11、OG平面EFCD；(2)求证：AC平面ODE.证明(1)四边形ABCD是菱形，ACBDO，点O是BD的中点，点G为BC的中点，OGCD，又OG平面EFCD，CD平面EFCD，OG平面EFCD.(2)BFCF，点G为BC的中点，FGBC.平面BCF平面ABCD，平面BCF平面ABCDBC，FG平面BCF，FGBC，FG平面ABCD.AC平面ABCD，FGAC，OGAB，OGAB，EFAB，EFAB，OGEF，OGEF，四边形EFGO为平行四边形，FGEO.FGAC，FGEO，ACEO.四边形ABCD是菱形，ACDO，EODOO，EO、DO在平面ODE内，AC平面ODE.命题点4面面垂直的证明例5
12、如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，E为BB1的中点，求证：截面A1CE侧面ACC1A1.证明如图所示，取A1C的中点F，AC的中点G，连结FG，EF，BG，则FGAA1，且GFAA1.因为BEEB1，A1B1CB，A1B1ECBE90，所以A1B1ECBE，所以A1ECE.因为F为A1C的中点，所以EFA1C.又FGAA1BE，GFAA1BE，且BEBG，所以四边形BEFG是矩形，所以EFFG.因为A1CFGF，所以EF侧面ACC1A1.又因为EF平面A1CE，所以截面A1CE侧面ACC1A1.命题点5平行、垂直的综合证明例6如图，四边形ABCD是正方形，DE平面ABCD.(1)求证：
13、AC平面BDE；(2)若AFDE，DE3AF，点M在线段BD上，且BMBD，求证：AM平面BEF.证明(1)因为DE平面ABCD，所以DEAC.因为四边形ABCD是正方形，所以ACBD.又BDDED，从而AC平面BDE.(2)如图，延长EF，DA交于点G.因为AFDE，DE3AF，所以.因为BMBD，所以，所以，所以AMGB.又AM平面BEF，GB平面BEF，所以AM平面BEF.思维升华(1)空间线面的位置关系的判定方法证明直线与平面平行，设法在平面内找到一条直线与已知直线平行，解答时合理利用中位线性质、线面平行的性质，或构造平行四边形，寻求比例关系确定两直线平行.证明直线与平面垂直，主要途径是找到一条直线与平面内的
