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1、【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.6 简单的三角恒等变换 理 1公式的常见变形(1)1cos 2cos2；1cos 2sin2；(2)1sin (sincos)2；1sin (sincos)2.(3)tan .2辅助角公式asin xbcos xsin(x)，其中sin ，cos .【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)y3sin x4cos x的最大值是7.()(2)设(，2)，则 sin.()(3)在非直角三角形中有：tan Atan Btan Ctan Atan Btan C()(4)设3，且|cos |，那么si
2、n的值为.()(5)公式asin xbcos xsin(x)中的取值与a，b的值无关()1已知cos ，(，2)，则cos_.答案解析(，)，cos.2.的值为_答案解析原式.3 sin 15cos 15_.答案解析sin 15cos 152sin(1560)2sin 45.4若f(x)2tan x，则f的值为_答案8解析f(x)2tan x2tan x，f8.5若锐角、满足(1tan )(1tan )4，则_.答案解析由(1tan )(1tan )4，可得，即tan().又(0，)，.题型一三角函数式的化简与求值例1(1)化简：_.(2)已知，且2sin2sin cos 3cos20，则_.
3、答案(1)cos 2x(2)解析(1)原式cos 2x.(2)，且2sin2sin cos 3cos20，则(2sin 3cos )(sin cos )0，2sin 3cos ，又sin2cos21，cos ，sin ，.思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点(1)cos cos cos_.(2)若，则tan 2_.答案(1)(2)解析(1)原式cos cos cos(3).(2)，tan 2，tan 2.题型二三角函数的求角问题例2(1
4、)已知锐角，满足sin ，cos ，则_.(2)已知方程x23ax3a10(a1)的两根分别为tan 、tan ，且、，则_.答案(1)(2)解析(1)由sin ，cos 且，为锐角，可知cos ，sin ，故cos()cos cos sin sin ，又00，又(0，)00，02，tan(2)1.tan 0，20，2.(2)由已知可得tan Atan B(tan Atan B1)，tan(AB)，又0AB，AB，C.题型三三角恒等变换的应用例3已知函数f(x)sin(x)acos(x2)，其中aR，.(1)当a，时，求f(x)在区间0，上的最大值与最小值；(2)若f0，f()1，求a，的值解
5、(1)f(x)sincos(sin xcos x)sin xcos xsin xsin，因为x0，从而x，故f(x)在0，上的最大值为，最小值为1.(2)由得由知cos 0，解得思维升华三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为yAsin(x)k的形式再研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征(1)(2014课标全国)函数f(x)sin(x)2sin cos x的最大值为_(2)函数f(x)sin(2x)2sin2x的最小正周期是_答案(1)1(2)解析(1)因为f(x)sin(x)2sin cos xsin xcos cos xsin sin(x)
6、，1sin(x)1，所以f(x)的最大值为1.(2)f(x)sin 2xcos 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin(2x)，T.8化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用典例(14分)(2015重庆)已知函数f(x)sinsin xcos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在上的单调性思维点拨(1)讨论形如yasin xbcos x型函数的性质，一律化成ysin(x)型的函数(2)研究yAsin(x)型函数的最值、单调性，可将x视为一个整体，换元后结合ysin x的图象解决规范解答解(1)f(x)sinsin xcos2xcos xsin x(1co
7、s 2x)sin 2xcos 2xsin，5分因此f(x)的最小正周期为，最大值为.7分(2)当x时，02x，8分从而当02x，即x时，f(x)单调递增，10分当2x，即x时，f(x)单调递减12分综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减14分温馨提醒(1)讨论三角函数的性质，要先利用三角变换化成yAsin(x)，的确定一定要准确(2)将x视为一个整体，设xt，可以借助ysin t的图象讨论函数的单调性、最值等方法与技巧1三角函数的求值与化简要注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系，然后进行变换2利用三角函数值求角要考虑角的范围3与三角函数的图象与性质相结合的综合问题借助三角恒等变换将已
8、知条件中的函数解析式整理为f(x)Asin(x)的形式，然后借助三角函数图象解决失误与防范1利用辅助角公式，asin xbcos x转化时一定要严格对照和差公式，防止弄错辅助角2计算形如ysin(x), xa，b形式的函数最值时，不要将x的范围和x的范围混淆A组专项基础训练(时间：40分钟)1若sin，则cos_.答案解析sin，sin，cos，cos2cos2121.2已知sin 2，则cos2_.答案解析因为cos2，所以cos2.3若cossin ，则sin_.答案解析cossin ，cos sin ，cos sin ，sinsin cos .4若sin 2，sin()，且，则_.答案解
9、析，2.sin 2，2，cos 2.，cos()，cos()cos2()cos 2cos()sin 2sin().又，.5函数f(x)sin(2x)cos(2x)的图象关于点对称，则f(x)的单调递增区间为_答案，kZ解析f(x)sin(2x)cos(2x)2sin，由题意知2k(kZ)，k(kZ)|，.f(x)2sin.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)6已知tan()3，则sin 22cos2的值为_答案解析tan()3，3，解得tan .sin 22cos2sin 2cos 21111.7若tan ，(，)，则sin(2)的值为_答案解析由tan 得，sin 2.(，)，2(，)，
10、cos 2.sin(2)sin 2cos cos 2sin ().8若、是锐角，且sin sin ，cos cos ，则tan()_.答案解析sin sin ，cos cos ，两式平方相加得：22cos cos 2sin sin ，即22cos()，cos().、是锐角，且sin sin 0，0，0.sin().tan().9已知函数f(x)2cos x(sin xcos x)(1)求f的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间解(1)f2cos 2cos 2.(2)因为f(x)2sin xcos x2cos2xsin 2xcos 2x1sin1，所以T，故函数f(x)的最小正周期为.由2k2x
