《（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 课时3 导数与函数的综合问题 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 课时3 导数与函数的综合问题 理（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、课时3导数与函数的综合问题题型一用导数解决与不等式有关的问题命题点1解不等式例1设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)0，当x0时，有0的解集是_答案(，2)(0,2)解析x0时0，(x)为减函数，又(2)0，当且仅当0x0，此时x2f(x)0.又f(x)为奇函数，h(x)x2f(x)也为奇函数故x2f(x)0的解集为(，2)(0,2)命题点2证明不等式例2证明：当x0,1时，xsin xx.证明记F(x)sin xx，则F(x)cos x.当x(0，)时，F(x)0，F(x)在0，上是增函数；当x(，1)时，F(x)0，所以当x0,1时，F(x)0，即sin xx.记H(x)sin xx
2、，则当x(0,1)时，H(x)cos x10.设两曲线yf(x)，yg(x)有公共点，且在该点处的切线相同(1)用a表示b，并求b的最大值；(2)求证：f(x)g(x)(x0)(1)解设两曲线的公共点为(x0，y0)，f(x)x2a，g(x)，由题意知f(x0)g(x0)，f(x0)g(x0)，即由x02a，得x0a或x03a(舍去)即有ba22a23a2ln aa23a2ln a.令h(t)t23t2ln t(t0)，则h(t)2t(13ln t)于是当t(13ln t)0， h(t)0；当t(13ln t)0， h(t)0)，则F(x)x2a(x0)故F(x)在(0，a)上为减函数，在(a
3、，)上为增函数于是F(x)在(0，)上的最小值是F(a)F(x0)f(x0)g(x0)0.故当x0时，有f(x)g(x)0，即当x0时，f(x)g(x)思维升华(1)利用导数解不等式，一般可构造函数，利用已知条件确定函数单调性解不等式；(2)证明不等式f(x)g(x)，可构造函数F(x)f(x)g(x)，利用导数求F(x)的值域，得到F(x)0即可；(3)利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题已知函数f(x)ln x.若f(x)x2在(1，)上恒成
4、立，求a的取值范围解f(x)x2，ln x0，axln xx3，令g(x)xln xx3，则h(x)g(x)1ln x3x2，h(x)6x，当x(1，)时，h(x)0，h(x)在(1，)上是减函数，h(x)h(1)20，即g(x)0.g(x)在(1，)上也是减函数，g(x)g(1)1，当a1时，f(x)x2在(1，)上恒成立题型二利用导数解决函数零点问题例4(2014课标全国)已知函数f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.(1)求a；(2)证明：当k0.当x0时，g(x)3x26x1k0，g(x)单调递增，g(1)k10时，令h(x)x33x24
5、，则g(x)h(x)(1k)xh(x)h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0,2)单调递减，在(2，)单调递增，所以g(x)h(x)h(2)0.所以g(x)0在(0，)没有实根综上，g(x)0在R有唯一实根，即曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点思维升华研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现已知函数f(x)x2xsin xcos x的图象与直线yb有两个不同交点，求b的取值范围解f(x)x(2cos x)，令f
6、(x)0，得x0.当x0时，f(x)0，f(x)在(0，)上递增当x0时，f(x)1时，曲线yf(x)与直线yb有且仅有两个不同交点综上可知，b的取值范围是(1，)题型三利用导数解决生活中的优化问题例5某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解(1)因为x5时，y11，所以1011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y10(
7、x6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)(x3)10(x6)2210(x3)(x6)2,3x0)，为使耗电量最小，则速度应定为_答案40解析由yx239x400，得x1或x40，由于0x40时，y40时，y0.所以当x40时，y有最小值一审条件挖隐含典例(14分)设f(x)xln x，g(x)x3x23.(1)如果存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，求满足上述条件的最大整数M；(2)如果对于任意的s，t，2，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围(1)存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M(正确理解“存在”的含义)g(x1)g(x2)maxM挖掘g(
8、x1)g(x2)max的隐含实质g(x)maxg(x)minM求得M的最大整数值(2)对任意s，t，2都有f(s)g(t)(理解“任意”的含义)f(x)ming(x)max求得g(x)max1xln x1恒成立分离参数aaxx2ln x恒成立求h(x)xx2ln x的最大值ah(x)maxh(1)1a1规范解答解(1)存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，等价于g(x1)g(x2)maxM.2分由g(x)x3x23，得g(x)3x22x3x(x)令g(x)0得x.3分又x0,2，所以g(x)在区间0，上单调递减，在区间，2上单调递增，所以g(x)ming()，g(x)maxg(2
9、)1.故g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)minM，则满足条件的最大整数M4.6分(2)对于任意的s，t，2，都有f(s)g(t)成立，等价于在区间，2上，函数f(x)ming(x)max.8分由(1)可知在区间，2上，g(x)的最大值为g(2)1.在区间，2上，f(x)xln x1恒成立等价于axx2ln x恒成立设h(x)xx2ln x，h(x)12xln xx，可知h(x)在区间，2上是减函数，又h(1)0，所以当1x2时，h(x)0；当x0.11分即函数h(x)xx2ln x在区间(，1)上单调递增，在区间(1,2)上单调递减，所以h(x)maxh(1)1，13分所以a1
10、，即实数a的取值范围是1，)14分温馨提醒(1)“恒成立”、“存在性”问题一定要正确理解问题实质，深刻挖掘条件内含，进行等价转化(2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离参数的方法，转化为求函数的值域问题方法与技巧1用导数方法证明不等式f(x)g(x)时，找到函数h(x)f(x)g(x)的零点是解题的突破口2在讨论方程的根的个数、研究函数图象与x轴(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时，常常需要求出其中参数的取值范围，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用3在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较失误与防范1利用导数解决恒成立问题时，若分离参数后得到“af(x)恒成立”，要根据f(x)的值确定a的范围中端点能否取到2利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义A组专项基础训练(时间：40分钟)1已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是_答案2,0解析|f(x)|ax
