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1、【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第十四章 系列4选讲 14.2 矩阵与变换 理1乘法规则(1)行矩阵a11a12与列矩阵的乘法规则：a11a12a11b11a12b21(2)二阶矩阵与列向量的乘法规则：.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：.(4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律即(AB)CA(BC)，ABBA，由ABAC不一定能推出BC.一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算2常见的平面变换(1)恒等变换：如；(2)伸压变换：如；(3)反射变换：如；(4)旋转变换：如，其中为旋转角度；(5)
2、投影变换：如，；(6)切变变换：如(kR，且k0)3逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵A、B，若有ABBAE，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵；(2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)1B1A1.4特征值与特征向量设A是一个二阶矩阵，如果对于实数，存在一个非零向量，使A，那么称为A的一个特征值，而称为A的属于特征值的一个特征向量5特征多项式设A是一个二阶矩阵，R，我们把行列式f()2(ad)adbc，称为A的特征多项式1已知A，B，求AB.解AB.2设A，B，求AB的逆矩阵解A1，B1，(AB)1B1A1.3求矩阵M的特征值解f()(6)(3)180.10，23.M的特
3、征值为0和3.题型一矩阵与变换例1已知a，b是实数，如果矩阵M所对应的变换将直线xy1变换成x2y1，求a，b的值解设点(x，y)是直线xy1上任意一点，在矩阵M的作用下变成点(x，y)，则，所以因为点(x，y)在直线x2y1上，所以(22b)x(a2)y1，即所以思维升华已知变换前后的坐标，求变换对应的矩阵时，通常用待定系数法求解二阶矩阵M对应的变换将点(1，1)与(2，1)分别变换成点(1，1)与(0，2)(1)求矩阵M；(2)设直线l在变换作用下得到了直线m：xy4，求l的方程解(1)设M，则有，所以且解得所以M.(2)因为，且m：xy4，所以(x2y)(3x4y)4，整理得xy20，所
4、以直线l的方程为xy20.题型二求逆矩阵例2(2015福建)已知矩阵A，B.(1)求A的逆矩阵A1；(2)求矩阵C，使得ACB.解(1)因为|A|23142，所以A1.(2)由ACB得(A1A)CA1B，故CA1B.思维升华求逆矩阵的方法：(1)待定系数法设A是一个二阶可逆矩阵，ABBAE；(2)公式法|A|adbc0，有A1.已知矩阵A，B，求矩阵A1B.解设矩阵A的逆矩阵为，则，即故a1，b0，c0，d，从而A的逆矩阵为A1，所以A1B.题型三特征值与特征向量例3已知矩阵A的逆矩阵A1.(1)求矩阵A；(2)求矩阵A1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量解(1)因为矩阵A是矩阵A1的逆
5、矩阵，且|A1|221130，所以A.(2)矩阵A1的特征多项式为f()243(1)(3)，令f()0，得矩阵A1的特征值为11或23，所以1是矩阵A1的属于特征值11的一个特征向量，2是矩阵A1的属于特征值23的一个特征向量思维升华已知A，求特征值和特征向量的步骤：(1)令f()(a)(d)bc0，求出特征值；(2)列方程组(3)赋值法求特征向量，一般取x1或者y1，写出相应的向量已知矩阵A，其中aR，若点P(1,1)在矩阵A的变换下得到点P(0，3)(1)求实数a的值；(2)求矩阵A的特征值及特征向量解(1)由题意得，所以a13，所以a4.(2)由(1)知A，令f()(1)240.解得A的
6、特征值为1或3.当1时，由得矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为，当3时，由得矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为.1二阶矩阵与平面列向量乘法：，这是所有变换的基础2证明两个矩阵互为逆矩阵时，切记从两个方向进行，即ABEBA.3二元一次方程组相应的矩阵方程为AXB，其中A为系数矩阵，X为未知数向量，B为常数向量4若某一向量在矩阵变换作用下的像与原像共线，则称这个向量是属于该变换矩阵的特征向量，相应共线系数为属于该特征向量的特征值A组专项基础训练(时间：40分钟)1已知A，求A的特征值解A的特征多项式f()(1)(2)302328(7)(4)，A的特征值为17，24.故A的特征值为7和4.2已知
7、矩阵A，B，求满足AXB的二阶矩阵X.解由题意，得A1，AXB，XA1B.3已知矩阵M，求M(24)解24，M(24). 4已知矩阵A将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是，求矩阵A.解设A，由，得由3，得所以所以A.5曲线C1：x22y21在矩阵M的作用下变换为曲线C2，求C2的方程解设P(x，y)为曲线C2上任意一点，P(x，y)为曲线x22y21上与P对应的点，则，即因为P是曲线C1上的点，所以C2的方程为(x2y)22y21.6(2015江苏)已知x，yR，向量是矩阵A的属于特征值2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值解由已知，得A2，即，则即所以矩阵A
8、.从而矩阵A的特征多项式f()(2)(1)，所以矩阵A的另一个特征值为1.B组专项能力提升(时间：30分钟)7设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，证明A的逆矩阵是唯一的证明设B1，B2都是A的逆矩阵，则B1AAB1E2，B2AAB2E2，从而B1E2B1(B2A)B1B2(AB1)B2E2B2.即B1B2.故A的逆矩阵是唯一的8求曲线|x|y|1在矩阵M对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积解设点(x0，y0)为曲线|x|y|1上的任一点，在矩阵M对应的变换作用下得到的点为(x，y)，则由，得即所以曲线|x|y|1在矩阵M对应的变换作用下得到的曲线为|x|3|y|1，所以围成的图形为菱形，其面积为2.9设数列an，bn满足an12an3bn，bn12bn，且满足M，求二阶矩阵M.解依题设有，令A，则MA4，A2.MA4(A2)2.10已知矩阵A，B.(1)求满足条件AMB的矩阵M；(2)矩阵M对应的变换将曲线C：x2y21变换为曲线C，求曲线C的方程解(1)设M，AM，得a0，b2，c3，d0.M.(2)设曲线C上任意一点P(x，y)在矩阵M对应的变换作用下变为点P(x，y)，则M，即代入曲线C：x2y21，得()2()21.曲线C的方程是1.
