《（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.6 双曲线 文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.6 双曲线 文（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.6 双曲线 文1.双曲线定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合PM|MF1MF2|2a，F1F22c，其中a，c为常数且a0，c0.(1)当2aF1F2时，P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程1 (a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线y
2、xyx离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A22a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B22b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2a2b2 (ca0，cb0)【知识拓展】巧设双曲线方程(1)与双曲线1 (a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为t (t0).(2)过已知两个点的双曲线方程可设为1 (mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(3)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()(5)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则
3、1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线).()1.(教材改编)若双曲线1 (a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为_.答案解析由题意得b2a，又a2b2c2，5a2c2.e25，e.2.已知双曲线C1：1(a0，b0)与双曲线C2：1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a_，b_.答案12解析与双曲线1有相同渐近线的双曲线的方程可设为，即1.由题意知c，则4165，则a21，b24.又a0，b0，故a1，b2.3.双曲线x2my21的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为_.答案y2x解析方程化为：x21，依题意得： 2，m.双曲线方程为x21，其渐近
4、线为x20，即y2x.4.已知F为双曲线C：x2my23m(m0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为_.答案解析双曲线C的标准方程为1(m0)，其渐近线方程为yx，即yx，不妨选取右焦点F(，0)到其中一条渐近线xy0的距离求解，得d.5.(教材改编)经过点A(3，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_.答案1解析设双曲线的方程为1(a0)，把点A(3，1)代入，得a28，故所求方程为1.题型一双曲线的定义及标准方程命题点1双曲线定义的应用例1已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_.答案x21(x1)
5、解析如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得MC1AC1MA，MC2BC2MB，因为MAMB，所以MC1AC1MC2BC2，即MC2MC1BC2AC12，所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于C1C26.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a1，c3，则b28.故点M的轨迹方程为x21(x1).命题点2利用待定系数法求双曲线方程例2根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；(3)经过两点P(3,2)和Q(6，7).解(1)设双曲线的
6、标准方程为1或1(a0，b0).由题意知，2b12，e.b6，c10，a8.双曲线的标准方程为1或1.(2)双曲线经过点M(0,12)，M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12.又2c26，c13，b2c2a225.双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线方程为mx2ny21(mn0).解得双曲线的标准方程为1.思维升华求双曲线标准方程的一般方法：(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a、b、c的方程并求出a、b、c的值.与双曲线1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为 (0).(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的
7、值.(1)(2015课标全国)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程为_.(2)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为_.答案(1)y21(2)1解析(1)由双曲线渐近线方程为yx，可设该双曲线的标准方程为y2(0)，已知该双曲线过点(4，)，所以()2，即1，故所求双曲线的标准方程为y21.(2)由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(5,0)，F2(5,0)，设曲线C2上的一点P，则|PF1PF2|8.由双曲线的定义知：a4，b3.故曲线C2的标准方程为1.即1.题型二双曲线
8、的几何性质例3(1)过双曲线1(a0，b0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线交于点B，若2，则此双曲线的离心率为_.(2)(2015山东)过双曲线C：1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为_.答案(1)2(2)2解析(1)如图，2，A为线段BF的中点，23.又12，260，tan 60，e21()24，e2.(2)把x2a代入 1得yb.不妨取P(2a，b).又双曲线右焦点F2的坐标为(c,0)，kF2P.由题意，得.(2)ac.双曲线C的离心率为e2.思维升华(1)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心
9、率，在双曲线1(a0，b0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k满足关系式e21k2.(2)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2c2a2和e转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.(1)(2015重庆改编)设双曲线1(a0，b0)的右焦点是F，左，右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为_.(2)如图，F1，F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C
10、2的离心率是_.答案(1)1(2)解析(1)由题意知，双曲线1的右焦点F(c,0)，左，右顶点分别为A1(a,0)，A2(a,0)，易求B，C，则kA2C，kA1B，又A1B与A2C垂直，则有kA1BkA2C1，即1，1，a2b2，即ab，渐近线斜率k1.(2)F1F22.设双曲线的方程为1.AF2AF14，AF2AF12a，AF22a，AF12a.在RtF1AF2中，F1AF290，AFAFF1F，即(2a)2(2a)2(2)2，a，e.题型三直线与双曲线的综合问题例4(1)(2015四川)过双曲线x21的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则AB_.答案4解析右焦
11、点F(2,0)，过F与x轴垂直的直线为x2，渐近线方程为x20，将x2代入渐近线方程得y212，y2，A(2,2)，B(2，2)，AB4.(2)若双曲线E：y21(a0)的离心率等于，直线ykx1与双曲线E的右支交于A，B两点.求k的取值范围；若AB6，点C是双曲线上一点，且m()，求k，m的值.解由得故双曲线E的方程为x2y21.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(1k2)x22kx20.(*)直线与双曲线右支交于A，B两点，故即所以1k.故k的取值范围是k|1k.由(*)得x1x2，x1x2，AB26，整理得28k455k2250，k2或k2，又1k0，b0).由已知得：a，c2，再由a2b2c2，得b21，双曲线C的方程为y21.(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由题
