《（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.4 直线、平面垂直的判定与性质 文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.4 直线、平面垂直的判定与性质 文（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.4 直线、平面垂直的判定与性质 文1直线与平面垂直图形条件结论判定ab，b(b为内的任意一条直线)aam，an，m、n，mnOaab，ab性质a，baba，bab2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面l【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“
2、”)(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)若直线a平面，直线b，则直线a与b垂直()(3)直线a，b，则ab.()(4)若，aa.()(5)a，a.()(6)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面()1(教材改编)下列条件中，能判定直线l平面的是_l与平面内的两条直线垂直；l与平面内无数条直线垂直；l与平面内的某一条直线垂直；l与平面内任意一条直线垂直答案解析由直线与平面垂直的定义，可知正确2设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的_条件答案充分不必要解析若，因为m，b，bm，所以根据两个平面垂直的性质定理可得
3、b，又a，所以ab；反过来，当am时，因为bm，且a，m共面，一定有ba，但不能保证b，所以不能推出.3已知平面，l，P是空间一点，且P到平面、的距离分别是1、2，则点P到l的距离为_答案解析如图，PO平面PAB，lPO.PO就是P到直线l的距离，四边形PAOB为矩形，PO.4(教材改编)PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连结PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有_对答案7解析由于PD平面ABCD，故平面PAD平面ABCD，平面PDB平面ABCD，平面PDC平面ABCD，平面PDA平面PDC，平面PAC平面PDB，平面PAB平面PAD，平面PBC平面PDC，共7对5(教材改编)
4、在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，(1)若PAPBPC，则点O是ABC的_心(2)若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心答案(1)外(2)垂解析(1)如图1，连结OA，OB，OC，OP，在RtPOA、RtPOB和RtPOC中，PAPCPB，所以OAOBOC，即O为ABC的外心(2)如图2，延长AO、BO、CO分别交对边于H、D、G点，PCPA，PBPC，PAPBP，PC平面PAB，AB平面PAB，PCAB，又ABPO，POPCP，AB平面PGC，又CG平面PGC，ABCG，即CG为ABC边AB的高同理可证BD，AH为ABC底边上的高，即O为ABC的垂心题型一直线
5、与平面垂直的判定与性质例1(2014辽宁)如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点(1)求证：EF平面BCG；(2)求三棱锥DBCG的体积(1)证明由已知得ABCDBC，因此ACDC.又G为AD的中点，所以CGAD.同理BGAD，又BGCGG，因此AD平面BGC.又因E，F分别为AC，DC的中点，所以EFAD，所以EF平面BCG.(2)解在平面ABC内，作AOBC，交CB的延长线于O，如图由平面ABC平面BCD，知AO平面BDC.又G为AD中点，因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半在AOB中，AOABsin 60，
6、所以VDBCGVGBCDSDBChBDBCsin 120.思维升华(1)证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想(3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且ADDB，点C为圆O上一点，且BCAC，PD平面ABC，PDDB.求证：PACD.证明因为AB为圆O的直径，所以ACCB，在RtABC中，由ACBC得，ABC30，设AD1，由3ADDB
7、得，DB3，BC2，由余弦定理得CD2DB2BC22DBBCcos 303，所以CD2DB2BC2，即CDAO.因为PD平面ABC，CD平面ABC，所以PDCD，由PDAOD得，CD平面PAB，又PA平面PAB，所以PACD.题型二平面与平面垂直的判定与性质例2如图所示，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90.将ABD沿对角线BD折起，记折起后A的位置为点P，且使平面PBD平面BCD.求证：(1)CD平面PBD.(2)平面PBC平面PDC.证明(1)ADAB，BAD90，ABDADB45，又ADBC，DBC45，又DCB45，BDC90，即BDDC.平面PBD平面BCD，
8、平面PBD平面BCDBD，CD平面PBD.(2)由CD平面PBD得CDBP.又BPPD，PDCDD，BP平面PDC.又BP平面PBC，平面PBC平面PDC.思维升华面面垂直的性质应用技巧(1)两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面这是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面，此性质在不是很复杂的题目中，要对此进行证明(2015重庆)如图，三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，ABC，点D，E在线段AC上，且ADDEEC2，PDPC4，点F在线段AB上，且EFBC.(1)证明：AB平
9、面PFE；(2)若四棱锥PDFBC的体积为7，求线段BC的长(1)证明由DEEC，PDPC知，E为等腰PDC中DC边的中点，故PEAC.又平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，PE平面PAC，PEAC，所以PE平面ABC，从而PEAB.因ABC，EFBC，故ABEF.又PEEFE，所以AB平面PFE.(2)解设BCx，则在RtABC中，AB，从而SABCABBCx.由EFBC知，得AFEABC，故2，即SAFESABC.由ADAE，SAFDSAFESABCSABCx.从而四边形DFBC的面积为SDFBCSABCSAFDxxx.由(1)知，PE平面ABC，所以PE为四棱锥PDFBC的高
10、在RtPEC中，PE2.体积VPDFBCSDFBCPEx27，故得x436x22430，解得x29或x227，由于x0，可得x3或x3.所以，BC3或BC3.题型三垂直关系中的探索性问题例3(2015合肥质量检测)如图，在三棱台ABCDEF中，CF平面DEF，ABBC.(1)设平面ACE平面DEFa，求证：DFa；(2)若EFCF2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由(1)证明在三棱台ABCDEF中，ACDF，AC平面ACE，DF平面ACE，DF平面ACE.又DF平面DEF，平面ACE平面DEFa，DFa.(2)解线段BE
11、上存在点G，且BGBE，使得平面DFG平面CDE.证明如下：取CE的中点O，连结FO并延长交BE于点G，连结GD，CFEF，GFCE.在三棱台ABCDEF中，ABBCDEEF.由CF平面DEFCFDE.又CFEFF，DE平面CBEF，DEGF.GF平面CDE.又GF平面DFG，平面DFG平面CDE.此时，如平面图所示，延长FO与CB交于点H，O为CE的中点，EFCF2BC，由平面几何知识易证HOCFOE，HBBCEF.由HGBFGE可知，即BGBE.思维升华同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明如图(1)所示，在R
12、tABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图(2)所示(1)求证：DE平面A1CB；(2)求证：A1FBE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由(1)证明因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DEBC.又因为DE平面A1CB，BC平面A1CB，所以DE平面A1CB.(2)证明由已知得ACBC且DEBC，所以DEAC，所以DEA1D，DECD，所以DE平面A1DC.而A1F平面A1DC，所以DEA1F.又因为A1FCD，CDDED，所以A1F平面BCDE，又BE平面BCDE，所以A1FBE.(3)解线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如图所示，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQBC.又因为DEBC，所以DEPQ，所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE平面A1DC，所以DEA1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1CDP，因为DEDPD，所以A1C平面DEP，从而A1C平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C平面DEQ.17立体几何证明问题中的转化思想典例(14分)如图所示
