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1、【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 12.2 直接证明与间接证明 文1直接证明(1)综合法定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法框图表示：思维过程：由因导果(2)分析法定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止这种证明方法常称为分析法框图表示：思维过程：执果索因2间接证明(1)反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方
2、法(2)反证法的步骤：反设假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；归谬从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”()(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾()(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程()(6)证明不等式最合适的方法是分析法()1已知点An(n，
3、an)为函数y图象上的点，Bn(n，bn)为函数yx图象上的点，其中nN*，设cnanbn，则cn与cn1的大小关系为_答案cn1cn解析由条件得cnanbnn，则cn随n的增大而减小，cn1ab，则a、b应满足的条件是_答案a0，b0且ab解析ab(ab)(ab)(ba)()(ab)()2()当a0，b0且ab时，()2()0.abab成立的条件是a0，b0且ab.5(教材改编)在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则ABC的形状为_三角形答案等边解析由题意2BAC，又ABC，B，又b2ac，由余弦定理得b2a2c22accos
4、Ba2c2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac，AC，ABC，ABC为等边三角形题型一综合法的应用例1已知数列an满足a1，且an1(nN*)(1)证明数列是等差数列，并求数列an的通项公式；(2)设bnanan1(nN*)，数列bn的前n项和记为Tn，证明：Tn0，所以Tnf.证明要证f(x1)f(x2)f，即证明(tan x1tan x2)tan ，只需证明tan ，只需证明.由于x1，x2，故x1x2(0，)所以cos x1cos x20，sin(x1x2)0,1cos(x1x2)0，故只需证明1cos(x1x2)2cos x1cos x2，即证1cos x1cos x2sin
5、x1sin x22cos x1cos x2，即证cos(x1x2)f.引申探究若本例中f(x)变为f(x)3x2x，试证：对于任意的x1，x2R，均有f.证明要证明f，即证明2，因此只要证明(x1x2)(x1x2)，即证明，因此只要证明，由于x1，x2R时， 由基本不等式知显然成立，故原结论成立思维升华(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证已知a0，求证 a2.证明要证
6、a2，只需要证 2a.因为a0，故只需要证( 2)2(a)2，即a24 4a222(a)2，从而只需要证2 (a)，只需要证4(a2)2(a22)，即a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立题型三反证法的应用命题点1证明否定性命题例3已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列(1)解当n1时，a1S12a12，则a11.又anSn2，所以an1Sn12，两式相减得an1an，所以an是首项为1，公比为的等比数列，所以an.(2)证明反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap1，aq1，ar1(pq
7、r，且p，q，rN*)，则2，所以22rq2rp1.(*)又因为pqr，且p，q，rN*，所以rq，rpN*.所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立所以假设不成立，原命题得证命题点2证明存在性问题例4若f(x)的定义域为a，b，值域为a，b(a2)，使函数h(x)是区间a，b上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由解(1)由题设得g(x)(x1)21，其图象的对称轴为x1，区间1，b在对称轴的右边，所以函数在区间1，b上单调递增由“四维光军”函数的定义可知，g(1)1，g(b)b，即b2bb，解得b1或b3.因为b1，所以b3.(2)假设函数h(x)在区间a，
8、b (a2)上是“四维光军”函数，因为h(x)在区间(2，)上单调递减，所以有即解得ab，这与已知矛盾故不存在命题点3证明唯一性命题例5已知a0，证明关于x的方程axb有且只有一个根证明由于a0，因此方程至少有一个根x.假设x1，x2是它的两个不同的根，即ax1b，ax2b，由得a(x1x2)0，因为x1x2，所以x1x20，所以a0，这与已知矛盾，故假设错误所以当a0时，方程axb有且只有一个根思维升华应用反证法证明数学命题，一般有以下几个步骤：第一步：分清命题“pq”的条件和结论；第二步：作出与命题结论q相反的假设綈q；第三步：由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定
9、产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题pq为真所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列(1)解由已知得d2，故an2n1，Snn(n)(2)证明由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，rN*，且互不相等)成等比数列，则bbpbr，即(q)2(p)(r)(q2pr)(2qpr)0.p，q，
10、rN*，()2pr，即(pr)20.pr，与pr矛盾假设不成立，即数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列22反证法在证明题中的应用典例(14分)直线ykxm(m0)与椭圆W：y21相交于A、C两点，O是坐标原点(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形思维点拨(1)根据菱形对角线互相垂直平分及点B的坐标设出点A的坐标，代入椭圆方程求得点A的坐标，后求AC的长；(2)将直线方程代入椭圆方程求出AC的中点坐标(即OB的中点坐标)，判断直线AC与OB是否垂直规范解答(1)解因为四边形OABC为菱形，则AC与OB相互垂直平分由于O(0,0)，B(0,1)所以设点A，代入椭圆方程得1，则t，故|AC|2.4分(2)证明假设四边形OABC为菱形
