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1、【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式及其应用 理 1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)2(a，b同号)(3)ab2 (a，bR)(4)2 (a，bR)以上不等式等号成立的条件均为ab.3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值2.(简记：积定
2、和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值.(简记：和定积最大)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数yx的最小值是2.()(2)函数f(x)cos x，x(0，)的最小值等于4.()(3)“x0且y0”是“2”的充要条件()(4)若a0，则a3的最小值为2.()(5)不等式a2b22ab与有相同的成立条件()1设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为_答案81解析x0，y0，即xy()281，当且仅当xy9时，(xy)max81.2若实数x，y满足xy0，且log2xlog2y1，则的最小值为_答案4解析由log2xlog2y1得xy2
3、，又xy0，所以xy0，xy24，当且仅当xy2，即x1，y1时取等号，所以的最小值为4.3若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a_.答案3解析当x2时，x20，f(x)(x2)2224，当且仅当x2(x2)，即x3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x3，即a3.4若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_ m2.答案25解析设矩形的一边为x m，则另一边为(202x)(10x)m，yx(10x)225，当且仅当x10x，即x5时，ymax25.5已知x，yR，且x4y1，则xy的最大值为_答案解析1x4y24，xy()2，当且仅当x4y，即时，(xy)max
4、.题型一利用基本不等式求最值命题点1配凑法求最值例1(1)已知x1)的最小值为_(3)函数y的最大值为_答案(1)1(2)22(3)解析(1)因为x0，则f(x)4x2(54x)3231.当且仅当54x，即x1时，等号成立故f(x)4x2的最大值为1.(2)y(x1)222.当且仅当(x1)，即x1时，等号成立(3)令t0，则xt21，所以y.当t0，即x1时，y0；当t0，即x1时，y，因为t24(当且仅当t2时取等号)，所以y，即y的最大值为(当t2，即x5时y取得最大值)思维升华(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用
5、基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式命题点2常数代换或消元法求最值例2(1)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是_(2)(高考改编题)设ab2，b0，则取最小值时，a的值为_答案(1)5(2)2解析(1)方法一由x3y5xy可得1，3x4y(3x4y)()5.(当且仅当，即x1，y时，等号成立)，3x4y的最小值是5.方法二由x3y5xy得x，x0，y0，y，3x4y4y4y4(y)25，当且仅当y时等号成立，(3x4y)min5.(2)ab2，2
6、1，当且仅当时等号成立又ab2，b0，当b2a，a2时，取得最小值思维升华条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值(1)已知x，y(0，)，2x3()y，若(m0)的最小值为3，则m_.(2)(2015南昌模拟)已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为_答案(1)4(2)6解析(1)由2x3()y得xy3，(xy)()(1m)(1m2)，(当且仅当时取等号)(1m2)3，解得m4.(2)由已知得x.方法一(消元法)x0，
7、y0，y0，y0，9(x3y)xyx(3y)()2，当且仅当x3y时等号成立设x3yt0，则t212t1080，(t6)(t18)0，又t0，t6.故当x3，y1时，(x3y)min6.题型二基本不等式与学科知识的综合命题点1用基本不等式求解与其他知识结合的最值问题例3(1)已知直线axbyc10(b，c0)经过圆x2y22y50的圆心，则的最小值是_(2)已知a0，b0，a，b的等比中项是1，且mb，na，则mn的最小值是_答案(1)9(2)4解析(1)圆x2y22y50化成标准方程，得x2(y1)26，所以圆心为C(0,1)因为直线axbyc10经过圆心C，所以a0b1c10，即bc1.因
8、此(bc)()5.因为b，c0，所以24.当且仅当时等号成立由此可得b2c，且bc1，即b，c时，取得最小值9.(2)由题意知：ab1，mb2b，na2a，mn2(ab)44，当且仅当ab1时，等号成立命题点2求参数的值或取值范围例4(2015滨州模拟)已知a0，b0，若不等式恒成立，则m的最大值为_答案12解析由得m(a3b)()6.又62612，m12，m的最大值为12.思维升华(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定
9、相关成立条件，从而得参数的值或范围(1)已知各项均为正数的等比数列an满足a7a62a5，若存在两项am，an使得4a1，则的最小值为_(2)已知函数f(x)(aR)，若对于任意xN*，f(x)3恒成立，则a的取值范围是_答案(1)(2)，)解析(1)由各项均为正数的等比数列an满足a7a62a5，可得a1q6a1q52a1q4，所以q2q20，解得q2或q1(舍去)因为4a1，所以qmn216，所以2mn224，所以mn6.所以(mn)()(5)(52).当且仅当时，等号成立，故的最小值等于.(2)对任意xN*，f(x)3恒成立，即3恒成立，即知a(x)3.设g(x)x，xN*，则g(2)6
10、，g(3).g(2)g(3)，g(x)min.(x)3，a，故a的取值范围是，)题型三不等式的实际应用例5运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50x100(单位：千米/时)假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2)升，司机的工资是每小时14元(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值解(1)设所用时间为t(h)，y2(2)14，x50,100所以，这次行车总费用y关于x的表达式是yx，x50,100(或yx，x50,100)(2)yx26，当且仅当x，即x18，等号成立故当x18千米/时时，这次行车的总费
11、用最低，最低费用的值为26元思维升华(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)x210x(万元)当年产量不小于80千件时，C(x)51x1 450(万元)每件商品售价为0.05万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解(1)当0x80时，L(x)1 000x0.05(x210x)250x240x250.当x80时，L(x)1 000x0.05(51x1 450)2501 200(x)L(x)(2)当0x0，y0，且1，则xy的最小值是_(2)函数y12x(x0)的最小值为_
