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1、【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.6 对数与对数函数 文1对数的概念一般地，如果a (a0，a1)的b次幂等于N，即abN，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaNb，N叫做真数2对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM (nR)；logamMnlogaM(m，nR，且m0)(2)对数的性质alogaN_N_；logaaN_N_(a0且a1)(3)对数的重要公式换底公式：logbN (a，b均大于零且不等于1)；l
2、ogab，推广logablogbclogcdlogad.3对数函数的图象与性质a10a1图象性质(1)定义域：(0，)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x1时，y0当0x1时，y1时，y0当0x0(6)在(0，)上是增函数(7)在(0，)上是减函数4.反函数指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数，它们的图象关于直线_yx_对称【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若MN0，则loga(MN)logaMlogaN.()(2)logaxlogayloga(xy)()(3)函数ylog2x及ylog3x都是对数函数()(4)对数函数ylogax(a0，且a1)
3、在(0，)上是增函数()(5)函数yln与yln(1x)ln(1x)的定义域相同()(6)对数函数ylogax(a0且a1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，函数图象只在第一、四象限()1(2015湖南改编)设函数f(x)ln(1x)ln(1x)，则有关f(x)的性质判断正确的是_(填序号)奇函数，且在(0,1)上是增函数；奇函数，且在(0,1)上是减函数；偶函数，且在(0,1)上是增函数；偶函数，且在(0,1)上是减函数答案解析易知函数定义域为(1，1)，f(x)ln(1x)ln(1x)f(x)，故函数f(x)为奇函数，又f(x)lnln，由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0,
4、1)上是增函数2设alog，blog，clog3，则a，b，c的大小关系是_答案cb，cb1时，函数单调递增，所以只有正确4(2015浙江)若alog43，则2a2a_.答案解析2a2a.5(教材改编)若loga0，且a1)，则实数a的取值范围是_答案(1，)解析当0a1时，logalogaa1，0a1时，loga1.实数a的取值范围是(1，). 题型一对数式的运算例1(1)设2a5bm，且2，则m_.(2)lglg的值是_答案(1)(2)1解析(1)2a5bm，alog2m，blog5m，logm2logm5logm102.m.(2)原式lglg 101.思维升华在对数运算中，要熟练掌握对数
5、的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算(1)计算：_.(2)已知loga2m，loga3n，则a2mn_.答案(1)1(2)12解析(1)原式1.(2)loga2m，loga3n，am2，an3，a2mn(am)2an22312.题型二对数函数的图象及应用例2(1)函数y2log4(1x)的图象大致是_(填序号)(2)当0x时，4x1时不满足条件，当0a1时，画出两个函数在上的图象，可知fg，即2，所以a的取值范围为.思维升华应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解
6、其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解(1)已知lg alg b0，则函数f(x)ax与函数g(x)logbx的图象可能是_(2)已知函数f(x)若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是_答案(1)(2)(10,12)解析(1)lg alg b0，ab1，g(x)logbx的定义域是(0，)，故排除.若a1，则0b1，此时f(x)ax是增函数，g(x)logbx是增函数，符合，排除.若0a1，g(x)logbx是减函数，排除，故填.(2)作出f(x)的大致图象(图
7、略)由图象知，要使f(a)f(b)f(c)，不妨设abc，则lg alg bc6，lg alg b0，ab1，abcc.由图知10cbc解析由对数运算法则得alog361log32，b1log52，c1log72，由对数函数图象得log32log52log72，所以abc.命题点2解对数不等式例4若loga(a21)loga2a0，故必有a212a，又loga(a21)loga2a0，所以0a1，所以a.综上，a(，1)命题点3和对数函数有关的复合函数例5已知函数f(x)loga(3ax)(1)当x0,2时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)
8、在区间1,2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由解(1)a0且a1，设t(x)3ax，则t(x)3ax为减函数，x0,2时，t(x)的最小值为32a，当x0,2时，f(x)恒有意义，即x0,2时，3ax0恒成立32a0.a0且a1，a(0,1).(2)t(x)3ax，a0，函数t(x)为减函数f(x)在区间1,2上为减函数，ylogat为增函数，a1，x1,2时，t(x)最小值为32a，f(x)最大值为f(1)loga(3a)，即故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1.思维升华在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问
9、题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件(1)设alog32，blog52，clog23，则a，b，c的大小关系为_(2)若f(x)lg(x22ax1a)在区间(，1上递减，则a的取值范围为_(3)设函数f(x)若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是_答案(1)cab(2)1,2)(3)(1,0)(1，)解析(1)23,122，log3log32log33，log51log52log22，a1,0b1，cab.(2)令函数g(x)x22ax1a(xa)21aa2，对称轴为xa，要使函数在(，1上递减，则有即解
10、得1a1或1a0.2比较指数式、对数式的大小典例(1)设a0.50.5，b0.30.5，clog0.30.2，则a，b，c的大小关系是_(2)设alog2，blog，c2，则a，b，c的大小关系为_(3)已知则a，b，c大小关系为_思维点拨(1)可根据幂函数yx0.5的单调性或比商法确定a，b的大小关系，然后利用中间值比较a，c大小(2)a，b均为对数式，可化为同底，再利用中间变量和c比较(3)化为同底的指数式解析(1)根据幂函数yx0.5的单调性，可得0.30.50.50.510.51，即balog0.30.31，即c1.所以balog221，bloglog2log210,0c1，bclog3log43.6.方法二log3log331，且3.4，log3log33.4log23.4.log43.61，log43.6log3log43.6.由于y5x为增函数，555.即5 () 5，故acb.答案(1)bacb(3)acb温馨提醒(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比
