《（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.7 抛物线 文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.7 抛物线 文（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.7 抛物线 文1.抛物线的概念平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下【知识拓展】1.抛物线y22px (p0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离PF
2、x0，也称为抛物线的焦半径.2.y2ax的焦点坐标为，准线方程为x.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(，0)，准线方程是x.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.()(4)AB为抛物线y22px(p0)的过焦点F(，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2，弦长ABx1x2p.()(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x22a
3、y(a0)的通径长为2a.()1.(2015陕西改编)已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线焦点坐标为_.答案(1,0)解析由于抛物线y22px(p0)的准线方程为x，由题意得1，p2，焦点坐标为.2.已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，AFx0，则x0_.答案1解析由抛物线的定义，可得AFx0，AFx0，x0x0，x01.3.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3，则OM_.答案2解析设抛物线方程为y22px (p0)，则点M(2，2).焦点，点M到该抛物线焦点的距离为3，24p9
4、，解得p2(负值舍去)，故M(2，2).OM2.4.(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(2，4)，则该抛物线的标准方程为_.答案y28x或x2y解析设抛物线方程为y22px (p0)，或x22py (p0).将P(2，4)代入，分别得方程为y28x或x2y.5.已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为_.答案解析A(2,3)在抛物线y22px的准线上，2，p4，y28x，设直线AB的方程为xm(y3)2，将与y28x联立，即得y28my24m160，则(8m)24(24m16)0，即
5、2m23m20，解得m2或m(舍去)，将m2代入解得即B(8,8)，又F(2,0)，kBF.题型一抛物线的定义及应用例1已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求PAPF的最小值，并求出取最小值时点P的坐标.解将x3代入抛物线方程y22x，得y.2，A在抛物线内部，如图.设抛物线上点P到准线l：x的距离为d，由定义知PAPFPAd，当PAl时，PAd最小，最小值为，即PAPF的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y22x，得x2，点P的坐标为(2,2).引申探究将本例中点A的坐标改为(3,4)，求PAPF的最小值.解当P、A、F共线时，PAPF最小，PAPFAF
6、.即PAPF的最小值为.思维升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.(1)设抛物线x212y的焦点为F，经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，又知点P恰为AB的中点，则AFBF_.(2)设P是抛物线y24x上的一个动点，若B(3,2)，则PBPF的最小值为_.答案(1)8(2)4解析(1)分别过点A，B，P作准线的垂线，垂足分别为M，N，Q，根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，得AFBFAMBN2PQ8.
7、(2)如图，过点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则P1QP1F.则有PBPFP1BP1QBQ4.即PBPF的最小值为4.题型二抛物线的标准方程和几何性质命题点1求抛物线的标准方程例2已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为_.答案x216y解析1的离心率为2，2，即4，3，.x22py的焦点坐标为，1的渐近线方程为yx，即yx.由题意得2，p8.故C2的方程为x216y.命题点2抛物线的几何性质例3 过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点.若AF3，则AOB的面积
8、为_.答案解析由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：y1y2p2，x1x2；为定值；以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.证明由已知得抛物线焦点坐标为(，0).由题意可设直线方程为xmy，代入y22px，得y22p，即y22pmyp20.(*)则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2p2.因为y2px1，y2px2，所以yy4p2x1x2，所以x1x2.因为x1x2，x1x2ABp，代入上式，得(定值).设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作
9、准线的垂线，垂足为N，则MN(ACBD)(AFBF)AB.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.题型三直线与抛物线的综合问题命题点1直线与抛物线的交点问题例4已知抛物线C：y28x与点M(2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点.若0，则k_.答案2解析抛物线C的焦点为F(2,0)，则直线方程为yk(x2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2(4k28)x4k20.设点A(x1，y1)，B(x2，y2).则x1x24，x1x24.所以y1y2k(x1x2)4k，y1y2k2x1x22(x1x2)416.因为(x12，y12)(x22，y22)(x12)(x22)(y12)(
10、y22)x1x22(x1x2)y1y22(y1y2)80，将上面各个量代入，化简得k24k40，所以k2.命题点2与抛物线弦的中点有关的问题例5(2014浙江)如图，已知ABP的三个顶点都在抛物线C：x24y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，3.(1)若PF3，求点M的坐标；(2)求ABP面积的最大值.解(1)由题意知焦点F(0,1)，准线方程为y1.设P(x0，y0)，由抛物线定义知PFy01，得到y02，所以P(2，2)或P(2，2).由3得M或M.(2)设直线AB的方程为ykxm，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0).由得x24kx4m0.于是16k216m0，
11、x1x24k，x1x24m，所以AB的中点M的坐标为(2k,2k2m)，由3，得(x0,1y0)3(2k,2k2m1)，所以由x4y0，得k2m.由0，k20，得f，所以，当m时，f(m)取到最大值，此时k.所以，ABP面积的最大值为.思维升华(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式ABx1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.已知过点M的直线l与抛物线y22px (p0)交于A，B两点，且3，其中O为坐标原点.(1)求p的值；(2)当AM4BM最小时，求直线l的方程.解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为xmy.联立消去x得y22pmyp20.y1y22pm，y1y2p2.3，x1x2y1y23.又x1x2，p23p24.p0，p2.(2)由抛物线定义，得AMx1x11，BMx2x21，AM4BMx14x25259，
