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1、第四节直线与圆、圆与圆的位置关系基础达标一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015衢州质检)已知直线x+y=0被圆(x+1)2+(y+1)2=r2(r0)所截得的弦长|AB|=2,则r的值是()A.B.2C.4D.1.D【解析】因为圆心(-1,-1)到直线x+y=0的距离d=,所以弦长AB=2=2=2,r0,解得r=.2.(2015贵阳适应性监测)对任意实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是()A.相离B.相交且不过圆心C.相切D.相交且过圆心2.B【解析】因为直线y=kx+1恒过定点(0,1),且斜率存在,又点(0,1)在圆x2+y2=4内,所以直线y=kx+1与圆
2、x2+y2=4相交,且直线不包括y轴,所以直线不过圆心.3.(2015北京西城区一模)设P,Q分别为直线x-y=0和圆x2+(y-6)2=2上的点,则|PQ|的最小值为()A.2B.3C.4D.43.A【解析】圆心(0,6)到直线x-y=0的距离为=3,圆的半径为,则|PQ|min=3=2.4.(2015山东实验中学四诊)已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为()A.10B.20C.30D.404.B【解析】圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25,点(3,5)在圆内,过该点的最长弦|AC|=10,最短弦B
3、DAC,且|BD|=2=2=4,所以四边形ABCD的面积为|AC|BD|=104=20.5.(2015桂林、防城港联考)若直线kx+y+4=0上存在点P,过P作圆x2+y2-2y=0的切线,切点为Q,若|PQ|=2,则实数k的取值范围是()A.-2,2B.2,+)C.(-,-22,+)D.(-,-11,+)5.C【解析】由切线长PQ=2,得点P到圆心C(0,1)的距离为,即直线上存在与圆心C的距离等于的点,则圆心C到直线的距离d=,k24,解得k-2或k2.二、填空题(每小题5分,共25分)6.直线l:x+y+m=0与圆C:x2+y2-4x+2y+1=0相交于A,B两点,若ABC为等腰直角三角
4、形,则m=.6.1或-3【解析】圆C的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=4,圆心(2,-1)到直线l:x+y+m=0的距离d=.由ABC是等腰直角三角形得d=r=,即,解得m=1或-3.7.(2015重庆期末)若直线=1与圆x2+y2=1相切,则=.7.1【解析】由直线与圆相切,得圆心(0,0)到直线=1的距离d=1,解得=1.8.(2015石家庄质检)若圆(x-5)2+(y-1)2=r2(r0)上有且仅有两点到直线4x+3y+2=0的距离等于1,则实数r的取值范围为.8.(4,6)【解析】因为圆心(5,1)到直线4x+3y+2=0的距离为=5,又圆上有且仅有两点到直线4x+3y+2=0的
5、距离为1,则4r0),则=3,解得a=2或-8,因为a0,所以a=2,所以圆的标准方程为(x-2)2+y2=9.(2)当直线l的斜率不存在时,直线l:x=0,与圆M交于A(0,),B(0,-).此时x1=x2=0,满足x1x2,所以x=0符合题意;当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx-3,联立消去y,得(x-2)2+(kx-3)2=9,整理得(1+k2)x2-(4+6k)x+4=0,所以x1+x2=,x1x2=.由已知x1x2,得(x1+x2)2=x1x2,即,整理得7k2-24k+17=0,解得k=1或,把k的值代入到方程中的判别式=(4+6k)2-16(1+k2)=48k+20k2中,
6、判别式的值都为正数,所以k=1或,所以直线l为y=x-3,y=x-3,即x-y-3=0,17x-7y-21=0.综上,直线l的方程为x-y-3=0,17x-7y-21=0或x=0.高考冲关1.(5分)已知直线l:xcos +ysin =2(R),圆C:x2+y2+2cos x+2sin y=0(R),则直线l与圆C的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.与,相关1.D【解析】当=0,直线l:x=2,当=时,圆C:x2+y2-2x=0,此时直线l:x=2与圆C相切;当=0时,圆C:x2+y2+2x=0,此时直线l:x=2与圆C相离,所以直线l:x=2与圆C的位置关系与,的取值相关.2.(5分
7、)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-a,1),B(a,-1),且a0,若圆C上存在点P,使得APB=90,则a的最大值为()A.6B.C.2D.52.B【解析】当APB=90时,点P的轨迹是以AB为直径的圆O,由题意可得圆C与圆O有公共点,O(0,0)为AB的中点,圆O的半径为,所以|CO|=5-1, +1,即46,15a235,a0,则a,即a的最大值是.3.(5分)(2015衢州质检)已知圆M:(x-2)2+(y-3)2=4,过点P(0,t)的直线交圆于不同的两点A,B,且PA=AB,则实数t的取值范围是()A.-1,7B.(3,7C.3-2,3)(3,3+2D.3-4,
8、3)(3,3+43.D【解析】利用圆的几何性质求解.取AB的中点C,设半弦长AC=BC=x,0x2,则PA=2x,MC2=MA2-AC2=4-x2,MC2=MP2-PC2=4+(t-3)2-9x2,所以4-x2=4+(t-3)2-9x2,即(t-3)2=8x2(0,32,即-4t-34,t-30,则3-4t3+4,t3,所以实数t的取值范围是3-4,3)(3,3+4.4.(5分)(2015盐城三模)动直线y=k(x-)与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当AOB的面积取得最大值时,k的值为.4.-【解析】由直线y=k(x-)与半圆y=相交于A,B两点,且AOB为三角形,得-1k0.当AO
9、B的面积取得最大值时,AOB=90,此时圆心(0,0)到直线y=k(x-)的距离d=r=,解得k2=,则k=-.5.(5分)(2015河西五市联考)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx+2上至少存在一点,使得以该点为圆心,半径为1的圆与圆C有公共点,则k的最小值是.5.-【解析】圆C:(x-4)2+y2=1,直线y=kx+2上至少存在一点,使得以该点为圆心,半径为1的圆与圆C有公共点,则圆心C到直线的距离小于等于2,即2,解得-k0.6.(5分)(2015重庆巴蜀中学三诊)若对任意R,直线l:xcos +ysin =2sin+4与圆C:(x-m)2+
10、(y-m)2=1均无公共点,则实数m的取值范围是.6.【解析】因为点(1,)到直线l:xcos +ysin =cos +sin +4的距离为定值4,所以直线l恒与圆P:(x-1)2+(y-)2=16相切,当直线l与圆C:(x-m)2+(y-m)2=1均无公共点时,圆C内含于圆P,即|CP|=3,解得-m0,则已知可得(2m)2+()2=32,解得m=1,故圆C的方程是(x-1)2+(y+2)2=9.(2)设直线l的方程为y=x+b,以AB为直径的圆过原点,则OAOB,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2+y1y2=0.由得2x2+(2b+2)x+(b2+4b-4)=0,要使方程有两个相异实根,则=(2+2b)2-42(b2+4b-4)0,即-3-3b3-3,x1+x2=-1-b,x1x2=.由y1=x1+b,y2=x2+b,代入x1x2+y1y2=0,得2x1x2+(x1+x2)b+b2=0,即有b2+3b-4=0,解得b=-4,b=1.故存在直线l满足条件,且方程为y=x-4或y=x+1.
