《2018高考数学一轮复习 第6章 不等式、推理与证明 第2节 基本不等式教师用书 文 北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018高考数学一轮复习 第6章 不等式、推理与证明 第2节 基本不等式教师用书 文 北师大版（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节第二节 基本不等式基本不等式 考纲传真 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小) 值问题 1基本不等式 ab ab 2 (1)基本不等式成立的条件：a0，b0. (2)等号成立的条件：当且仅当ab. 其中称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数 ab 2ab 2几个重要的不等式 (1)a2b22ab(a，bR R)； (2) 2(a，b同号且不为零)； b a a b (3)ab 2(a，bR R)； ( ab 2 ) (4) 2 (a，bR R) ( ab 2 ) a2b2 2 3利用基本不等式求最值问题 已知x0，y0，则 (1)如果积xy是定值p，
2、那么当且仅当xy时，xy有最小值是 2(简记：积定和 p 最小) (2)如果和xy是定值q，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最 q2 4 大) 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)函数yx 的最小值是 2.( ) 1 x (2)函数f (x)cosx，x的最小值等于 4.( ) 4 cos x (0， 2) (3)x0，y0 是 2 的充要条件( ) x y y x (4)若a0，则a3的最小值为 2.( ) 1 a2a 答案 (1) (2) (3) (4) 2若a，bR R，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是( ) Aa2b22ab Ba
3、b2 ab C. 1 a 1 b 2 ab D. 2 b a a b D D a2b22ab(ab)20，A 错误；对于 B，C，当a0， 22. b a a b b a a b 3(2016安徽合肥二模)若a，b都是正数，则的最小值为( ) (1 b a)(1 4a b) 【导学号：66482277】 A7 B8 C9 D10 C C a，b都是正数，5 529，当且仅当b2a0 (1 b a)(1 4a b) b a 4a b b a 4a b 时取等号 4若函数f (x)x(x2)在xa处取最小值，则a等于( ) 1 x2 【导学号：66482278】 A1 B1 23 C3 D4 C
4、C 当x2 时，x20，f (x)(x2)2224，当 1 x2 x2 1 x2 且仅当x2(x2)，即x3 时取等号，即当f (x)取得最小值时，x3，即a3， 1 x2 选 C. 5(教材改编)若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 _m2. 25 设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y， 则另一边为 (202x)(10x)m， 1 2 则yx(10x) 225， x10x 2 当且仅当x10x，即x5 时，ymax25. 利用基本不等式求最值 (1)(2015湖南高考)若实数a，b满足 ，则ab的最小值为( ) 1 a 2 bab A. B2 2 C2 D
5、4 2 (2)(2017郑州二次质量预测)已知正数x，y满足x22xy30，则 2xy的最小 值是_ (1)C C (2 2)3 3 (1)由 知a0，b0，所以 2，即ab2， 1 a 2 babab 1 a 2 b 2 ab2 当且仅当Error!即a，b2时取“” ，所以ab的最小值为 2. 4 2 4 22 (2)由x22xy30 得yx，则 2xy2xx2 3x2 2x 3 2x 1 2 3 2x 1 2 3x 2 3 2x 3，当且仅当x1 时，等号成立，所以 2xy的最小值为 3. 3x 2 3 2x 规律方法 1.利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积 最
6、大，积定和最小” 2在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、 平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式 变式训练 1 (1)(2016湖北七市 4 月联考)已知a0，b0，且 2ab1，若不等 式 m恒成立，则m的最大值等于( ) 2 a 1 b 【导学号：66482279】 A10 B9 C8 D7 (2)(2016湖南雅礼中学一模)已知实数m，n满足mn0，mn1，则 的最 1 m 1 n 大值为_ (1)B B (2)4 (1) 41525229，当且仅 2 a 1 b 22ab a 2ab b 2b a 2a b ( b a a b) b a a b
7、 当ab 时取等号又 m，m9，即m的最大值等于 9，故选 B. 1 3 2 a 1 b (2)mn0，mn1，m0，b0，ab1，求证： (1) 8； 1 a 1 b 1 ab (2)9. (1 1 a)(1 1 b) 证明 (1) 2， 1 a 1 b 1 ab ( 1 a 1 b) ab1，a0，b0， 2 224，3 分 1 a 1 b ab a ab b a b b a 8(当且仅当ab 时等号成立). 5 分 1 a 1 b 1 ab 1 2 (2)法一：a0，b0，ab1， 1 12 ，同理 1 2 ， 1 a ab a b a 1 b a b (1 1 a)(1 1 b) (2
8、 b a)(2 a b) 52549，10 分 ( b a a b) 9(当且仅当ab 时等号成立). 12 分 (1 1 a)(1 1 b) 1 2 法二：1 ， (1 1 a)(1 1 b) 1 a 1 b 1 ab 由(1)知， 8，10 分 1 a 1 b 1 ab 故1 9. 12 分 (1 1 a)(1 1 b) 1 a 1 b 1 ab 规律方法 1.“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换 的前提，不能盲目变形 2利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通 过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，
9、必要时， 也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到 变式训练 2 设a，b均为正实数，求证：ab2. 1 a2 1 b22 证明 由于a，b均为正实数， 所以2，3 分 1 a2 1 b2 1 a2 1 b2 2 ab 当且仅当，即ab时等号成立， 1 a2 1 b2 又因为ab22， 2 ab 2 abab2 当且仅当ab时等号成立， 2 ab 所以abab2，8 分 1 a2 1 b2 2 ab2 当且仅当Error!即ab时取等号. 12 分 4 2 基本不等式的实际应用 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶 130 千米，按交通法规限制 50x100(
10、单位：千米/时)假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小时耗油升， (2 x2 360) 司机的工资是每小时 14 元 (1)求这次行车总费用y关于x的表达式； (2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 【导学号：66482280】 解 (1)设所用时间为t(h)， 130 x y214，x50,100. 2 分 130 x (2 x2 360) 130 x 所以这次行车总费用y关于x的表达式是 yx，x. 130 18 x 2 130 36050，100 (或yx，x). 5 分 2 340 x 13 1850，100 (2)yx26 ， 130 18 x 2 130
11、36010 当且仅当x， 130 18 x 2 130 360 即x18，等号成立. 8 分 10 故当x18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为 26元. 12 1010 分 规律方法 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数 2根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值 3在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求 解 变式训练 3 某化工企业 2016 年年底投入 100 万元，购入一套污水处理设备该设 备每年的运转费用是 0.5 万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为 2 万 元，由于设备老化，
12、以后每年的维护费都比上一年增加 2 万元设该企业使用该设备x年 的年平均污水处理费用为y(单位：万元) (1)用x表示y； (2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备则该 企业几年后需要重新更换新的污水处理设备. 【导学号：66482281】 解 (1)由题意得， y， 1000.5x2462x x 即yx1.5(xN N*). 5 分 100 x (2)由基本不等式得： yx1.521.521.5，8 分 100 x x100 x 当且仅当x，即x10 时取等号 100 x 故该企业 10 年后需要重新更换新的污水处理设备. 12 分 思想与方法 1基本不等式具
13、有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功 能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围如果条 件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的 和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解 2基本不等式的两个变形： (1) 2ab(a，bR R，当且仅当ab时取等号) a2b2 2 ( ab 2 ) (2)(a0，b0，当且仅当ab时取等号) a2b2 2 ab 2ab 2 1 a 1 b 易错与防范 1使用基本不等式求最值， “一正” “二定” “三相等”三个条件缺一不可 2 “当且仅当ab时等号成立”的含义是“ab”是等号成立的充要条件，这一点至 关重要，忽视它往往会导致解题错误 3连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致
