《（全国通用）2017高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第五节 椭圆习题 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（全国通用）2017高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第五节 椭圆习题 理（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五节椭圆基础达标一、选择题(每小题5分,共25分)1.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是()A.(0,1)B.k1C.k0D.无法确定1.A【解析】将方程x2+ky2=2化为标准方程为=1,表示焦点在y轴上的椭圆,则2,解得0kb0)交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点,则椭圆C的离心率为()A.B. -1C. -1D.4.B【解析】如图所示,设F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,则OF2=OA=OB=OF1=c,AF2B=,由y=-x得AOF2=,AOF1=,所以AF2=c,AF1=c,由椭圆定义得c+c=2a,故离心率e=-1.5.已知
2、椭圆=1(ab0)的离心率是,过椭圆上一点M作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,且斜率分别为k1,k2,若点A,B关于原点对称,则k1k2的值为()A.B.-C.D.-5.D【解析】设点M(x,y),A(x1,y1),B(-x1,-y1),则y2=b2-=b2-,所以k1k2=-1=e2-1=-,即k1k2的值为-.二、填空题(每小题5分,共20分)6.(2015重庆期末测试)若椭圆的焦距、短轴长、长轴长依次构成等差数列,则该椭圆的离心率是.6.【解析】由椭圆的2c,2b,2a构成等差数列得2b=c+a,则4b2=4(a2-c2)=c2+2ac+a2,化简得5c2+2ac-3a2=0,即5e2
3、+2e-3=0,且椭圆的离心率e(0,1),故e=.7.(2015上海十三校联考)若椭圆的方程为=1,且此椭圆的焦距为4,则实数a=.7.4或8【解析】由椭圆的焦距为4得c=2,当2a6时,椭圆焦点在y轴上,则a-2-(10-a)=4,解得a=8.故a=4或8.8.(2015江苏盐城中学月考)若椭圆上存在一点P与椭圆的两个焦点构成顶角为120的等腰三角形,则椭圆的离心率为.8.【解析】设椭圆的两个焦点分别为点F1和F2,若以F1F2为底边,则点P在短轴的一个端点上,则e1=sin 60=;若以F1F2为一条腰,则PF1=2c,PF2=2c,由椭圆定义可得PF1+PF2=2c+2c=2a,此时离
4、心率e2=.9.已知点O和点F分别为椭圆=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值是.9.6【解析】由题意,F(-1,0),设点P(x0,y0),则有=1,解得=3,因为=(x0+1,y0), =(x0,y0),所以=x0(x0+1)+ =x0(x0+1)+3+x0+3,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-2,因为-2x02,所以当x0=2时,取得最大值+2+3=6.三、解答题(共20分)10.(10分)已知椭圆的中心在原点,且经过点P(3,0),a=3b,求椭圆的标准方程.10.【解析】当焦点在x轴上时,设其方程为=1(ab0),由椭圆过点P(3,0),知=1,又a=3b,代
5、入得b2=1,a2=9,故椭圆的方程为+y2=1;当焦点在y轴上时,设其方程为=1(ab0),由椭圆过点P(3,0),知=1,又a=3b,代入得b2=9,a2=81,故椭圆的方程为=1.综上,椭圆的标准方程为+y2=1或=1.11.(10分)已知直线l:y=kx+2(k为常数),过椭圆=1(ab0)的上顶点B和左焦点F的直线l被圆x2+y2=4截得的弦长为d.(1)若d=2,求k的值;(2)若d,求椭圆离心率e的取值范围.11.【解析】(1)取弦的中点为M,连接OM,由平面几何知识得OM=1,再由点到直线的距离公式得OM=1,解得k2=3,k=,又直线过点F,B,则k0,则k=.(2)设弦的中
6、点为M,连接OM,则OM2=,所以d2=4,解得k2,所以e2=,则0b0)的左、右顶点,若在椭圆上存在点P,使得-,则该椭圆的离心率的取值范围是()A.B.C.D.1.C【解析】设点P(x,y),则=-,所以离心率e=,又椭圆离心率eb0)的离心率e=,右焦点F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个根分别为x1,x2,则点P(x1,x2)()A.在圆x2+y2=2内B.在圆x2+y2=2上C.在圆x2+y2=2外D.以上三种情况都有可能2.A【解析】由题意可得a=2c,b=c,所以方程ax2+bx-c=0,即为2x2+x-1=0,方程的两根分别为x1,x2,所以x1+x2=-,x1x2=
7、-,则=(x1+x2)2-2x1x2=+1=b0)的左、右顶点分别为A,B,左、右焦点分别为F1,F2,点O为坐标原点,线段OB的中垂线与椭圆在第一象限的交点为P,设直线PA,PB,PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,k3,k4,若k1k2=-,则k3k4=()A.B.-C.-D.-43.C【解析】由题意可得P,A(-a,0),B(a,0),则k1k2=-=-,则a=2b,即c=b,则k3k4=-.4.(5分)(2015包头测试)已知椭圆C: =1(ab0)和圆O:x2+y2=b2,若C上存在点M,过点M引圆O的两条切线,切点分别为E,F,使得MEF为正三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是(
8、)A.B.C.D.4.C【解析】连接OE,OF,OM,由题意可得在直角三角形OEM中,OE=b,OME=30,则OM=2b,即椭圆上存在点M到中心O的距离为2b,则2ba,即4b2=4(a2-c2)a2, a2c,所以离心率e=,又椭圆离心率e(0,1),则e0,b0),且可知左焦点为F(-2,0),c=2,2a=|AF|+|AF|=8,解得a=4,b2=a2-c2=12,椭圆C的方程为=1.(2)假设存在适合题意的直线l,设其方程为y=x+t,联立得3x2+3tx+t2-12=0,直线l与椭圆C有公共点,=(3t)2-43(t2-12)0,解得-4t4.又由直线OA与直线l的距离等于4,可得
9、=4,解得t=2-4,4,故舍去,不存在符合条件的直线l.7.(10分)(2015山东高考)平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: =1(ab0)的离心率为,左、右焦点分别是F1,F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程.(2)设椭圆E: =1,P为椭圆C上任意一点.过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.求的值;求ABQ面积的最大值.7.【解析】(1)由题意知2a=4,则a=2.又,a2-c2=b2,可得b=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)由(1)知椭圆E的方程为=1.设P(x0,y0), =
10、,由题意知Q(-x0,-y0).因为=1,又=1,即=1,所以=2,即=2.设A(x1,y1),B(x2,y2).将y=kx+m代入椭圆E的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,由0,可得m24+16k2,则有x1+x2=-,x1x2=.所以|x1-x2|=.因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m),所以OAB的面积S=|m|x1-x2|=2.设=t.将y=kx+m代入椭圆C的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,由0,可得m21+4k2.由可知0t1,因此S=2=2.故S2.当且仅当t=1,即m2=1+4k2时,取得最大值2.由知,ABQ面积为3S,所以ABQ面积的最大值为6.
