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1、第六节空间直角坐标系、空间向量及其运算基础达标一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点,则DE与D1F的位置关系是()A.平行B.相交且垂直C.异面且垂直D.既不平行也不垂直1.C【解析】建立空间直角坐标系后,求得=0,所以,即DE与D1F垂直且DE与D1F是异面直线.2.两个非零向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则是ab的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.A【解析】ab且一个坐标为0是不能得到,所以必要性不满足,即是ab的充分不必要条件.3.已知空间四边形O
2、ABC中,点M在线段OA上,且OM=2MA,点N是BC的中点, =a, =b, =c,则=()A. a+b-cB.- a+b+cC. a-b+cD. a+b-c3.B【解析】点M在线段OA上,且OM=2MA,点N为BC的中点, +()+ +()+)=-,=a, =b, =c,=-a+b+c.4.已知长方体ABCD-A1B1C1D1,下列向量的数量积一定不为0的是()A.B.C.D.4.D【解析】选项A,当四边形ADD1A1为正方形时,可得AD1A1D,而A1DB1C,可得AD1B1C,此时有=0;选项B,当四边形ABCD为正方形时,可得ACBD,可得AC平面BB1D1D,故有ACBD1,此时有
3、=0;选项C,由长方体的性质可得AB平面ADD1A1,可得ABAD1,此时必有=0;选项D,由长方体的性质可得BC平面CDD1C1,可得BCCD1,BCD1为直角三角形,BCD1为直角,故BC与BD1不可能垂直,即0.5.在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是D1D,BD的中点,点G在棱CD上,且CG=CD,H是C1G的中点,则|为()A.B.C.D.5.D【解析】如图,以D为原点建立空间直角坐标系,则F,C1(0,1,1),G.因为H是C1G的中点,所以H,所以=-,则|=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知向量a=(-4,2,4),b=(-6,3,-2),则a
4、b=;|a|=.6.226【解析】ab=(-4)(-6)+23+4(-2)=22,|a|=6.7.已知空间四点A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,0,10),D(8,4,a),如果四边形ABCD为梯形,则实数a的值为.7.9【解析】因为=(4,-8,2), =(8,5,7), =(2,-4,10-a), =(10,1,a-1),四边形ABCD为梯形,则,解得a=9,此时不平行.8.正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为A1B1上任意一点,则DP与BC1始终.8.垂直【解析】因为=()=()=0,所以,即DP与BC1始终垂直.三、解答题(共20分)9.(10分)如图,正方体ABC
5、D-A1B1C1D1中,E是棱A1D1的中点,H为平面EDB内一点, =(2m,-2m,-m)(m0),证明:HC1平面EDB.9.【解析】设正方体的棱长为a,则=(a,a,0),所以=(2m,-2m,-m)=0,=(2m,-2m,-m)(a,a,0)=0,所以,又DEDB=D,所以HC1平面EDB.10.(10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别是AB,PC的中点,若ABCD是平行四边形.求证:MN平面PAD.10.【解析】取DP的中点E,连接AE,EN,则,所以,所以共面,且MN不在平面PAD上,所以MN平面PAD.高考冲关1.(5分)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐
6、标分别是(0,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),该四面体的体积为()A.B.C.1D.21.A【解析】在空间直角坐标系中作出四面体的四个顶点,可知该四面体是棱长为的正四面体,所以体积为.2.(5分)设P(2,3,4)在三个坐标平面上的射影分别为P1,P2,P3,则向量:(6,-3,-4);(4,-3,-4);(0,-3,4);(2,-6,4).其中与平面P1P2P3平行的向量有().A.1个B.2个C.3个D.4个2.C【解析】由题意可知,P1,P2,P3的坐标分别为(2,3,0),(2,0,4),(0,3,4),可以求得平面P1P2P3的一个法向量为(6,4,3),不
7、与该法向量垂直,所以不与平面P1P2P3平行,与该法向量垂直,所以与平面P1P2P3平行.3.(5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=a,则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A.在平面上B.相交C.平行D.以上都不正确3.C【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则点Ma, ,N,所以=-,0,- 与平面BB1C1C的法向量=(0,a,0)垂直,且MN不在平面BB1C1C上,所以MN与平面BB1C1C的位置关系是平行.4.(5分)已知空间四边形ABCD中, =a-2c, =5a+6b-8c,对角线AC,BD的中点分别为E,F,则=
8、.4.3a+3b-5c【解析】=3a+3b-5c.5.(5分)已知空间图形A-BCD,E,F,G,H,M,N分别是AB,BC,CD,DA,AC,BD的中点,求证:EG,FH,MN交于一点且互相平分.5.【解析】设P1,P2,P3分别为EG,FH,MN的中点,又设=a, =b, =c,则)=)= (a+b+c).同理可证 (a+b+c), (a+b+c),P1,P2,P3三点重合.从而原命题得证.6.(10分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,M是棱AA1的中点,点O是对角线BD1的中点.(1)求证:BD1AC;(2)求证:OM是异面直线AA1与BD1的公垂线.6.【解析】(1)以
9、D为原点,DC,DA,DD1所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),C(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),M,O.=(-1,-1,1), =(1,-1,0),=(-1)1+(-1)(-1)+10=0,即BD1AC.(2) =(0,0,1), =(-1,-1,1),=0, =0,OMAA1,OMBD1,即OM是异面直线AA1与BD1的公垂线.7.(10分)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2,底面边长为1,M是BC的中点.在直线CC1上是否存在一点N,使得MNAB1?若存在,请你求出它的位置;若不存在,请说明理由.7.【解析】假设在直线CC1上存在一点N,使得MNAB1.如图,建立空间直角坐标系,有A(0,0,0),B,M,0,N(0,1,z),B1,.,=-+2z=0,解得z=,N,即CN=时,AB1MN.
