《（全国通用）2017高考数学一轮复习 第十章 算法初步、推理与证明、复数 第二节 推理与证明习题 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（全国通用）2017高考数学一轮复习 第十章 算法初步、推理与证明、复数 第二节 推理与证明习题 理（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节推理与证明基础达标一、选择题(每小题5分,共30分)1.要证a2+b2-1-a2b20,只要证明( )A.2ab-1-a2b20B. a2+b2-1-0C. -1-a2b20D.(a2-1)(b2-1)01.D【解析】因为a2+b2-1-a2b2=(a2-1)(1-b2),所以要证a2+b2-1-a2b20,只需证明(a2-1)(b2-1)0.2.下列叙述正确的是( )A.综合法、分析法是直接证明的方法B.综合法是直接证法,分析法是间接证法C.综合法、分析法所用语气都是肯定的D.综合法、分析法所用语气都是假定的2.A【解析】根据相关定义可知A项正确.3.用反证法证明命题时,对结论“自然数
2、a,b,c中恰有一个偶数”的反设是()A.自然数a,b,c中至少有两个偶数B.自然数a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数C.自然数a,b,c都是奇数D.自然数a,b,c都是偶数3.B【解析】“自然数a,b,c中恰有一个偶数”的反设是“自然数a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数”.4.用数学归纳法证明不等式1+时,起始值至少取()A.7B.8C.9D.104.B【解析】1+=21-.当n=7时,2;当n=8时,2,故起始值至少取8.5.已知abc0,则下列不等式成立的是()A.B.C.D.5.C【解析】由题意可得(a-c) =(a-b)+(b-c) =2+2+2=4,所以.6.已知面积为S的凸四
3、边形中,四条边长分别记为a1,a2,a3,a4,点P为四边形内任意一点,且点P到四边的距离分别记为h1,h2,h3,h4,若=k,则h1+2h2+3h3+4h4=.类比以上性质,体积为V的三棱维的每个面的面积分别记为S1,S2,S3,S4,此三棱锥内任一点Q到每个面的距离分别为H1,H2,H3,H4,若=K,则H1+2H2+3H3+4H4=()A.B.C.D.6.B【解析】在平面图形中,利用面积分割得S=a1h1+a2h2+a3h3+a4h4=kh1+2kh2+3kh3+4kh4,则h1+2h2+3h3+4h4=.类比到空间,利用体积分割得V=S1H1+S2H2+S3H3+S4H4=KH1+2
4、KH2+3KH3+4KH4,则H1+2H2+3H3+4H4=.二、填空题(每小题5分,共15分)7.数列an中,a1=1,an+1=-,则a2016=.7.-2【解析】由题意可得a1=1,a2=-,a3=-2,a4=1,a5=-,归纳得出数列an是以3为周期的周期数列,而2016=3672,a2016=a3=-2.8.已知如图1所示的图形有面积关系,用类比的思想写出如图2所示的图形的体积关系=.8.【解析】在图2中过点A作AO平面PBC于点O,连接PO,则A1在平面PBC内的射影O1落在PO上,则,又,.9.(2015蚌埠质检)若正方体P1P2P3P4-Q1Q2Q3Q4的棱长为1,集合M=x|
5、x=,S,TP,Q,i,j1,2,3,4,则对于下列命题:当时,x=1;当时,x=-1;当x=1时,(i,j)有8种不同取值;当x=1时,(i,j)有16种不同取值;M=-1,0,1.其中正确的结论序号为.(填上所有正确结论的序号)9.【解析】因为,所以当时,x=1,正确,错误;当x=1时,i=1,2,3,4,j=1,2,3,4,所以(i,j)有16种不同取值,错误,正确;当时,x=0,当时,x=-1,所以M=-1,0,1,正确.三、解答题(共20分)10.(10分)设f(x)=,g(x)= (其中a0,且a1).(1)请将g(5)用f(2),f(3),g(2),g(3)来表示;(2)如果(1
6、)中获得了一个结论,能否将其推广,用“三段论”进行证明.10.【解析】(1)由g(5)=包括a5,易知表示式中必有f(2)g(3)或f(3)g(2),又f(3)g(2)+g(3)f(2)=,因此g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2).(2)由g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2),即g(3+2)=f(3)g(2)+g(3)f(2),于是推测g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y).证明:因为f(x)=,g(x)=,(大前提)所以g(x+y)=,g(y)=,f(y)=,(小前提)所以f(x)g(y)+g(x)f(y)= =g(x+y).(结论)11.(10分)用数学归纳法证明
7、:1-+ (nN*).11.【解析】当n=1时,左边=右边=,命题成立.假设n=k(kN*)时,命题成立,即1-+,则当n=k+1时,左边=1-+=(+)+ +=右边,于是当n=k+1时,命题也成立.由可知,原命题对所有正整数都成立.高考冲关1.(5分)(2015上海十三校联考)用反证法证明命题:“已知a,bN*,如果ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应为()A.a,b都能被5整除B.a,b都不能被5整除C.a,b不都能被5整除D.a不能被5整除1.B【解析】“a,b中至少有一个能被5整除”的反面情况是“a,b都不能被5整除”.2.(5分)(2015陕西高考)对二
8、次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是()A.-1是f(x)的零点B.1是f(x)的极值点C.3是f(x)的极值D.点(2,8)在曲线y=f(x)上2.A【解析】若B,C,D都正确,则f(x)=a(x-1)2+3,a0,代入点(2,8),解得a=5是整数,此时函数没有零点,A错误,适合题意;若A,B,D均正确,则解得不适合题意,故C一定正确;若B不正确,A,C,D正确,则同样求得a无整数解,所以B一定正确;若D不正确,A,B,C正确,则解得a=-Z,舍去,即D一定正确,故错误的结论是A.3.(5分)(2015潍坊
9、质检)对于实数x,x表示不超过x的最大整数,观察下列等式:+=3+=10+=21按照此规律第n个等式的等号右边的结果为.3.2n2+n【解析】由题意可得3=13,10=25,21=37,则第n个等式的等号右边的结果是n(2n+1)=2n2+n.4.(5分)(2015安徽高考)设x3+ax+b=0,其中a,b均为实数.下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是.(写出所有正确条件的编号)a=-3,b=-3;a=-3,b=2;a=-3,b2;a=0,b=2;a=1,b=2.4.【解析】令f(x)=x3+ax+b,则f(x)=3x2+a,若a0,则f(x)在R上单调递增,若a0,则f(x)在上单调递
10、增,在-上单调递减.对于,a=b=-3,得f(x)=x3-3x-3,f(x)=3(x+1)(x-1),可得f(x)的极大值f(-1)=-10,f(x)的极小值f(1)=-50,f(x)的极小值f(1)=0,因为f(x)在(-,-1),(1,+)单调递增,则函数f(x)与x轴有两个交点,故f(x)=0有两解;对于,a=-3,b2,得f(x)=x3-3x+b,f(x)=3(x+1)(x-1),可得f(x)的极大值f(-1)=2+b0,f(x)的极小值f(1)=b-20,因为f(x)在(-,-1),(1,+)单调递增,则函数f(x)与x轴只有一个交点,故f(x)=0只有一解;对于,a=0,b=2,得
11、f(x)=x3+2,f(x)=3x20,f(x)在R上单调递增,函数f(x)与x轴只有一个交点,故f(x)=0只有一解;对于,a=1,b=2,得f(x)=x3+x+2,f(x)=3x2+10,f(x)在R上单调递增,函数f(x)与x轴只有一个交点,故f(x)=0只有一解.5.(15分)(2015湖北高考)已知数列an的各项均为正数,bn=an(nN+),e为自然对数的底数.(1)求函数f(x)=1+x-ex的单调区间,并比较与e的大小;(2)计算,由此推测计算的公式,并给出证明;(3)令cn=(a1a2an,数列an,cn的前n项和分别记为Sn,Tn,证明:Tn0,即x0时,f(x)单调递增;
12、当f(x)0时,f(x)单调递减;故f(x)的单调递增区间为(-,0),单调递减区间为(0,+).当x0时,f(x)f(0)=0,即1+xex,令x=,得1+,即e.(2) =1=1+1=2; =221+2=(2+1)2=32;=323=(3+1)3=43.由此推测=(n+1)n.下面用数学归纳法证明.()当n=1时,左边=右边=2,成立.()假设当n=k时,成立,即=(k+1)k.当n=k+1时,bk+1=(k+1) ak+1,由归纳假设可得=(k+1)k(k+1) =(k+2)k+1,所以当n=k+1时,也成立.根据()(),可知对一切正整数n都成立.(3)由cn的定义,算术-几何平均不等式,bn的定义及得Tn=c1+c2+c3+cn=(a1+(a1a2+(a1a2a3+(a1a2an=+=b1+b2+bn=b1+b2+bn+=a1+a2+anea1+ea2+ean=eSn,即TneSn.
