《全国通用2018届高考数学二轮复习第三篇攻坚克难压轴大题多得分第30练圆锥曲线的热点问题练习文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国通用2018届高考数学二轮复习第三篇攻坚克难压轴大题多得分第30练圆锥曲线的热点问题练习文（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第30练圆锥曲线的热点问题明考情圆锥曲线的热点问题作为直线与圆锥曲线的位置关系的延伸与深化，是高考的必考点，高考中常选取其中一个热点问题作为圆锥曲线的压轴题目.知考向1.范围与最值问题.2.定值、定点问题.3.探索性问题.考点一范围与最值问题方法技巧圆锥曲线的最值和范围问题解题常见思路(1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是在两个参数之间建立相关关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.(4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.(5)利用函数值域的求法，确定参数的取值范围.1
2、.已知点A(1，0)，点M是圆C：(x1)2y28上的任意一点，线段MA的垂直平分线与直线CM交于点E.(1)求点E的轨迹方程；(2)若直线ykxm与点E的轨迹有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围.解(1)由题意知|EM|EA|，|CE|EM|2，所以|CE|EA|22|CA|，所以点E的轨迹是以点C，A为焦点的椭圆，其轨迹方程为y21.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则将直线与椭圆的方程联立得消去y，得(2k21)x24kmx2m220，0，m22k21.x1x2，x1x2.因为点O在以PQ为直径的圆的内部，故0，即x1x2y1y20，而
3、y1y2(kx1m)(kx2m)，故由x1x2y1y20，得m2，且满足式，所以m2，所以m的取值范围是.2.如图，已知椭圆y21上两个不同的点A，B关于直线ymx对称.(1)求实数m的取值范围；(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点).解(1)由题意知m0，可设直线AB的方程为yxb，A(x1，y1)，B(x2，y2).由消去y，得x2xb210.因为直线yxb与椭圆y21有两个不同的交点，所以2b220.则x1x2，x1x2，y1y2(x1x2)2b2b.设M为AB的中点，则M，代入直线方程ymx，解得b，由，得m或m.(2)令t，则|AB|，且点O到直线AB的距离为d.设AOB的面积为
4、S(t)，所以S(t)|AB|d，当且仅当t2时，等号成立.故AOB面积的最大值为.3.已知抛物线y24x，直线l：yxb与抛物线交于A，B两点.(1)若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程；(2)若直线l与y轴负半轴相交，求AOB(O为坐标原点)面积的最大值.解(1)联立化简得y28y8b0.由6432b0，解得b2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y28，y1y28b.设圆心Q(x0，y0)，则有x0，y04，r|y0|4，|AB|y1y2|2r8，解得b.所以x02b8，圆心Q，故圆的方程为2(y4)216.(2)因为直线与y轴负半轴相交，所以b0.又直线与抛物线交于两点
5、，由(1)知b2，所以2b0，直线l的方程为yxb，整理得x2y2b0，点O到直线l的距离d，所以SAOB|AB|d4b4.令g(b)b32b2，2b0，g(b)3b24b3b，当b变化时，g(b)，g(b)的变化情况如下表：bg(b)0g(b)极大值由上表可得g(b)的最大值为g.所以当b时，AOB的面积取得最大值.4.(2017山东)在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：1(ab0)的离心率为，焦距为2.(1)求椭圆E的方程；(2)如图，动直线l：yk1x交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为k2，且k1k2.M是线段OC延长线上一点，且|MC|AB|23，M的半径为|MC|
6、，OS，OT是M的两条切线，切点分别为S，T.求SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率.解(1)由题意知e，2c2，所以c1，a，则b1，所以椭圆E的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程得(4k2)x24k1x10，由题意知0，且x1x2，x1x2，所以|AB|x1x2|.由题意可知圆M的半径r为r|AB|.由题设知k1k2，所以k2，因此直线OC的方程为yx，联立方程得x2，y2，因此|OC|.由题意可知，sin.而，令t12k，则t1，(0，1)，因此1，当且仅当，即t2时等号成立，此时k1，所以sin ，因此，所以SOT的最大值为.综上所述，SOT的最
7、大值为，取得最大值时直线l的斜率为k1.考点二定值、定点问题方法技巧(1)定点问题的常见解法假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求定点；从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意.(2)定值问题的常见解法从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.5.(2017全国)在直角坐标系xOy中，曲线yx2mx2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1).当m变化时，解答下列问题：(1)能否出现ACBC的情况？说明理由；(2)证明
8、过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.(1)解不能出现ACBC的情况.理由如下：设A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2满足x2mx20，所以x1x22.又点C的坐标为(0，1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为，所以不能出现ACBC的情况.(2)证明BC的中点坐标为，可得BC的中垂线方程为yx2.由(1)可得x1x2m，所以AB的中垂线方程为x.联立又xmx220，可得所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r.故圆在y轴上截得的弦长为23，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.6.已知抛物线C的顶点在坐标原点O，其图象关于y轴对称且经过点M(2，1).(1)求抛物线
9、C的方程；(2)若一个等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另两个顶点在抛物线上，求该等边三角形的面积；(3)过点M作抛物线C的两条弦MA，MB，设MA，MB所在直线的斜率分别为k1，k2，当k1k22时，试证明直线AB的斜率为定值，并求出该定值.解(1)设抛物线C的方程为x22py(p0)，由点M(2，1)在抛物线C上，得42p，则p2，抛物线C的方程为x24y.(2)设该等边三角形OPQ的顶点P，Q在抛物线上，且P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，则x4yP，x4yQ，由|OP|OQ|，得xyxy，即(yPyQ)(yPyQ4)0.又yP0，yQ0，则yPyQ，|xP|xQ|，即线段PQ关于y轴
10、对称.POy30，yP|xP|，代入x4yP，得xP4，该等边三角形边长为8，SPOQ48.(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x4y1，x4y2，k1k2(x12x22)2.x1x212，kAB(x1x2)3.7.(2017全国)已知椭圆C：1(ab0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.(1)解由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P3，P4两点.又由知，椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上.因此解得故椭圆
11、C的方程为y21.(2)证明设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：xt，由题设知t0，且|t|0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.而k1k2.由题设k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0，即(2k1)(m1)0，解得k.当且仅当m1时，0，于是l：yxm，即y1(x2)，所以l过定点(2，1).8.已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆E的离心率为，椭圆E的一个焦点和抛物线y24x的焦点重合，过直线l：x4上一点M引椭圆E的两条切线，切点分别是A，B.(1)求椭圆E的方程；(2)若在椭圆1(ab0)上的点(x0，y0)
12、处的切线方程是1，求证：直线AB恒过定点C，并求出定点C的坐标.(1)解设椭圆方程为1(ab0)，因为抛物线y24x的焦点是(1，0)，所以c1.又，所以a2，b，所以所求椭圆E的方程为1.(2)证明设切点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l上一点M的坐标为(4，t)，则切线方程分别为1，1.又两切线均过点M，即x1y11，x2y21，即点A，B的坐标都适合方程xy1.又两点确定唯一的一条直线，故直线AB的方程是xy1，显然对任意实数t，点(1，0)都适合这个方程，故直线AB恒过定点C(1，0).考点三探索性问题方法技巧探索性问题的求解方法(1)处理这类问题，一般要先对结论作出肯定
13、的假设，然后由此假设出发，结合已知条件进行推理论证，若推出与已知、定理或公理相符的结论，则存在性得到肯定；若导致矛盾，则否定存在性.若证明某结论不存在，也可以采用反证法.(2)采用特殊化思想求解，即根据题目中的一些特殊关系，归纳出一般结论，然后进行证明，得出结论.9.(2017湖南东部五校联考)已知椭圆E：1的右焦点为F(c，0)且abc0，设短轴的一个端点D，原点O到直线DF的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且|4.(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在过点P(2，1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得24成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.解(1)由椭圆的对称性知，|2a4，a2.又原点O到直线DF的距离为，bc，又a2b2c2
