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1、第七章 不等式 7.2 一元二次不等式及其解法教师用书 理 新人教版1“三个二次”的关系判别式b24ac000)的图象一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有两相异实根x1，x2(x10 (a0)的解集x|xx2x|xx|xR一元二次不等式ax2bxc0)的解集x|x1 x0或(xa)(xb)0型不等式的解法不等式解集ab(xa)(xb)0x|xbx|xax|xa(xa)(xb)0x|axbx|bx0(0(0)(2)0(0)f(x)g(x)0(0)且g(x)0.以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若不等式ax2bxc
2、0.()(2)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()(5)若二次函数yax2bxc的图象开口向下，则不等式ax2bxc0的解集是()A(2,5) B(5，)C(，2) D(，2)(5，)答案D解析解方程x23x100得x12，x25，由于yx23x10的图象开口向上，所以x23x100的解集为(，2)(5，)2设集合Mx|x23x40，Nx|0x5，则MN等于()A(0,4 B0,4
3、)C1,0) D(1,0答案B解析Mx|x23x40x|1x0，令3x22x20得x1，x2，3x22x20的解集为(，)(，)4(教材改编)若关于x的不等式ax2bx20的解集是(，)，则ab_.答案14解析x1，x2是方程ax2bx20的两个根，解得ab14.5不等式x2ax40的解集不是空集，则实数a的取值范围是_答案(，44，)解析x2ax40的解集不是空集，则x2ax40一定有解a24140，即a216，a4或a4.题型一一元二次不等式的求解命题点1不含参的不等式例1求不等式2x2x30的解集解化2x2x30，解方程2x2x30得x11，x2，不等式2x2x30的解集为(，1)(，)
4、，即原不等式的解集为(，1)(，)命题点2含参不等式例2解关于x的不等式：x2(a1)xa1时，x2(a1)xa0的解集为x|1xa，当a1时，x2(a1)xa0的解集为，当a1时，x2(a1)xa0的解集为x|ax1引申探究将原不等式改为ax2(a1)x10，求不等式的解集解若a0，原不等式等价于x11.若a0，解得x1.若a0，原不等式等价于(x)(x1)0.当a1时，1，(x)(x1)1时，1，解(x)(x1)0，得x1；当0a1，解(x)(x1)0，得1x.综上所述，当a0时，解集为x|x1；当a0时，解集为x|x1；当0a1时，解集为x|1x1时，解集为x|x1思维升华含有参数的不等
5、式的求解，往往需要对参数进行分类讨论(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集解下列不等式：(1)0x2x24；(2)求不等式12x2axa2(aR)的解集解(1)原不等式等价于借助于数轴，如图所示，所以原不等式的解集为x|2x1或2x3(2)12x2axa2，12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4x
6、a)(3xa)0，得x1，x2.当a0时，解集为；当a0时，x20，解集为x|xR且x0；当a0时，解集为.综上所述，当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为x|xR且x0；当a0时，不等式的解集为.题型二一元二次不等式恒成立问题命题点1在R上的恒成立问题例3(1)若一元二次不等式2kx2kx0，则a的取值范围是()A(0,4) B0,4)C(0，) D(，4)答案(1)D(2)B解析(1)2kx2kx0为一元二次不等式，k0，又2kx2kx0对一切实数x都成立，则必有解得3k0，则必有或a0，0a4.命题点2在给定区间上的恒成立问题例4设函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3，f
7、(x)m5恒成立，求m的取值范围解要使f(x)m5在x1,3上恒成立，即m2m60时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60，所以m，所以0m；当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m60，所以m6，所以m0.综上所述，m的取值范围是m|m0，又因为m(x2x1)60，所以m.因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m即可所以，m的取值范围是.命题点3给定参数范围的恒成立问题例5对任意m1,1，函数f(x)x2(m4)x42m的值恒大于零，求x的取值范围解由f(x)x2(m4)x42m(x2)mx24x4，令g(m)(x2
8、)mx24x4.由题意知在1,1上，g(m)的值恒大于零，解得x3.故当x的取值范围为(，1)(3，)时，对任意的m1,1，函数f(x)的值恒大于零思维升华(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数(1)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_答案(，0)解析作出二次函数f(x
9、)的草图，对于任意xm，m1，都有f(x)0，则有即解得m0.(2)已知不等式mx22xm10，是否存在实数m对所有的实数x，使不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由解不等式mx22xm10恒成立，即函数f(x)mx22xm1的图象全部在x轴下方当m0时，12x，不满足题意；当m0时，函数f(x)mx22xm1为二次函数，需满足开口向下且方程mx22xm10无解，即不等式组的解集为空集，即m无解综上可知，不存在这样的m.题型三一元二次不等式的应用例6某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件若售价降低x成(1成10%)，售出商品数量就增加x成要求售价不能低
10、于成本价(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式yf(x)，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围解(1)由题意得，y100100.因为售价不能低于成本价，所以100800.所以yf(x)40(10x)(254x)，定义域为x0,2(2)由题意得40(10x)(254x)10 260，化简得8x230x130，解得x.所以x的取值范围是.思维升华求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1x10)，每小时可获得的利润是100(5x1)元(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润解(1)根据题意，得200(5x1)3 000，整理得5x140，即5x214x30，又1x10，可
