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1、第三节空间点、直线、平面之间的位置关系A组基础题组1.(2018贵州贵阳调研)四条线段顺次首尾相连,它们最多可确定的平面有()A.4个B.3个C.2个D.1个2.已知A,B,C,D是空间四点,命题甲:A,B,C,D四点不共面,命题乙:直线AC和BD不相交,则甲是乙成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是()A.相交B.异面C.平行D.垂直4.已知l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是()A.l1l2,l2l3l1l3B.l1
2、l2,l2l3l1l3C.l1l2l3l1,l2,l3共面D.l1,l2,l3共点l1,l2,l3共面5.已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为()A.B.C.D.6.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:直线AM与CC1是相交直线;直线AM与BN是平行直线;直线BN与MB1是异面直线;直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为(把你认为正确的结论的序号都填上).7.如图,已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,C是圆柱下底面弧AB的中点,C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,那么异面直线AC1与BC所
3、成角的正切值为.8.空间四边形两对角线的长分别为6和8,所成的角为45,连接各边中点所得四边形的面积是.9.如图所示,A是BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点.(1)求证:直线EF与BD是异面直线;(2)若ACBD,AC=BD,求EF与BD所成的角.10.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,ACBD=P,A1C1EF=Q.求证:(1)D,B,F,E四点共面;(2)若A1C交平面DBFE于点R,则P,Q,R三点共线.B组提升题组1.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1l2,l2l3,l3l4,则下列结论一定正确的是(
4、)A.l1l4B.l1l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定2.在三棱柱ABC-A1B1C1中,E、F分别为棱AA1、CC1的中点,则在空间中与直线A1B1、EF、BC都相交的直线()A.不存在B.有且只有两条C.有且只有三条D.有无数条3.直三棱柱ABC-A1B1C1中,BCA=90,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,求BM与AN所成角的余弦值.4.如图,在三棱锥P-ABC中,PA底面ABC,D是PC的中点.已知BAC=,AB=2,AC=2,PA=2.(1)求三棱锥P-ABC的体积;(2)求异面直线BC与AD所成角的余弦值.答案精解精析A组基
5、础题组1.A首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面,所以最多可以确定四个平面.2.A若A,B,C,D四点不共面,则直线AC和BD不共面,所以AC和BD不相交;若直线AC和BD不相交,则直线AC和BD平行时,A,B,C,D四点共面,所以甲是乙成立的充分不必要条件.3.A由BCAD,ADA1D1知,BCA1D1,从而四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1BCD1,又EF平面A1C,EFD1C=F,则A1B与EF相交.4.BA选项,l1l2,l2l3,则l1与l3的位置关系可能是相交、平行或异面;B选项正确;C选项,l1l2l3,则l1,l2,l3可能共面,也可能不共面;D选项不正确,如长方体中
6、共顶点的三条棱所在直线,这三条直线不共面.5.B画出正四面体ABCD的直观图,如图所示.设其棱长为2,取AD的中点F,连接EF、CF,设EF的中点为O,连接CO,则EFBD,则FEC或其补角就是异面直线CE与BD所成的角.ABC为等边三角形,则CEAB,易得CE=,同理可得CF=,故CE=CF.因为OE=OF,所以COEF.又EO=EF=BD=,所以cosFEC=.6.答案解析直线AM与CC1是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,故错误.7.答案解析取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连接C1D,AD,因为C是圆柱下底面弧AB的中点,所以ADBC,所以直线AC1与AD的夹角等于异面直线AC1与B
7、C所成角,因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,所以C1D圆柱下底面,所以C1DAD,因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,所以C1D=AD,所以直线AC1与AD的夹角的正切值为,所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.8.答案6解析如图,已知空间四边形ABCD,对角线AC=6,BD=8,易证四边形EFGH为平行四边形,EFG或FGH为AC与BD所成的45角,故S四边形EFGH=34sin 45=6.9.解析(1)证明:假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A,B,C,D在同一平面内,这与A是BCD所在平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异
8、面直线.(2)取CD的中点G,连接EG,FG,则ACFG,EGBD,所以相交直线EF与EG所成的角(或其补角)即为异面直线EF与BD所成的角.又因为ACBD,AC=BD,所以FGEG,FG=EG.所以FEG=45,即异面直线EF与BD所成的角为45.10.证明(1)如图所示,因为EF是D1B1C1的中位线,所以EFB1D1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1D1BD,所以EFBD.所以EF,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面.(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设平面A1ACC1确定的平面为,平面BDEF为,因为QA1C1,所以Q.又因为QEF,所以Q,则Q是与的公共点
9、,同理,P点也是与的公共点,所以=PQ.又因为A1C=R,所以RA1C,则R且R,则RPQ,故P,Q,R三点共线.B组提升题组1.Dl1l4或l1与l4相交或l1与l4异面.故l1与l4的位置关系不确定.故选D.2.D在EF上任意取一点M,直线A1B1与M确定一个平面,这个平面与BC有且仅有1个交点N,当M的位置不同时,直线A1B1与M确定的平面不同,从而确定的这个平面与BC的交点N不同,而直线MN与A1B1、EF、BC分别有交点P、M、N,如图,故有无数条直线与直线A1B1、EF、BC都相交.3.解析取BC的中点Q,连接QN,AQ,易知BMQN,则ANQ或其补角即为BM与AN所成的角,设BC=CA=CC1=2,则AQ=,AN=,QN=,cosANQ=.BM与AN所成角的余弦值为.4.解析(1)因为PA底面ABC,所以PA是三棱锥P-ABC的高.又SABC=22=2,所以三棱锥P-ABC的体积为V=SABCPA=22=.(2)如图,取PB的中点E,连接DE,AE,则EDBC,所以ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角.易知PB=2,PC=4,BC=4,则在ADE中,DE=2,AE=,AD=2,所以cosADE=.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.
