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1、第三节平面向量的数量积及应用举例A组基础题组1.已知向量a,b均为单位向量,若它们的夹角是60,则|a-3b|=()A.3B.2C.D.2.(2018云南第一次统一检测)在ABCD中,|=8,|=6,N为DC的中点,=2,则=()A.48B.36C.24D.123.已知平面向量a,b的夹角为,且|a|=,|b|=2,在ABC中,=2a+2b,=2a-6b,D为BC的中点,则|等于()A.2B.4C.6D.84.如图,已知平面四边形ABCD,ABBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记I1=,I2=,I3=,则()A.I1I2I3B.I1I3I2C.I3I1I2D.I2I1I
2、35.设单位向量e1,e2的夹角为,a=e1+2e2,b=2e1-3e2,则b在a方向上的投影为.6.(2017山东,12,5分)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若e1-e2与e1+e2的夹角为60,则实数的值是.7.(2017河北石家庄质量检测(一)已知与的夹角为90,|=2,|=1,=+(,R),且=0,则的值为.8.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x.(1)若mn,求tan x的值;(2)若m与n的夹角为,求x的值.9.如图,已知O为坐标原点,向量=(3cos x,3sin x),=(3cos x,sin x),=(,0),x.(1)求证:(-
3、);(2)若ABC是等腰三角形,求x的值.B组提升题组1.若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a-b的夹角为()A.B.C.D.2.在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若=2,=-(R),且=-4,则的值为.3.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角;(2)求|a+b|;(3)若=a,=b,求ABC的面积.4.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B),n=(cos B,-sin B),且mn=-.(1)求sin A的值;(2)若a=4,b=5,求角B的大小及
4、向量在方向上的投影.答案精解精析A组基础题组1.D(a-3b)2=|a|2-6ab+9|b|2=1-6cos 60+9=7,|a-3b|=,故选D.2.C=(+)(+)=-=82-62=24,故选C.3.A因为=(+)=(2a+2b+2a-6b)=2a-2b,所以|2=4(a-b)2=4(a2-2ba+b2)=4=4,则|=2.4.C解法一:因为AB=BC,ABBC,BCO=45.过B作BEAC于E,则EBC=45.因为AD45,又BCO=45,BOC为锐角.从而AOB为钝角,所以DOC为钝角.故I10,I30.又OAOC,OB1),=-2(21),从而I3=12=12I1,又121,I10,
5、I3I10,I3I10,nm.从而DBC45,又BCO=45,BOC为锐角.从而AOB为钝角.故I10,I30.又OAOC,OB1),=-2(21),从而I3=12=12I1,又121,I10,I30,I3I1,I3I1I2.故选C.5.答案-解析依题意得e1e2=11cos=-,|a|=,ab=(e1+2e2)(2e1-3e2)=2-6+e1e2=-,因此b在a方向上的投影为=-.6.答案解析由题意不妨设e1=(1,0),e2=(0,1),则e1-e2=(,-1),e1+e2=(1,).根据向量的夹角公式得cos 60=,所以-=,解得=.7.答案解析根据题意,建立如图所示的平面直角坐标系,
6、则A(0,0),B(0,2),C(1,0),所以=(0,2),=(1,0),=(1,-2).设M(x,y),则=(x,y),所以=(x,y)(1,-2)=x-2y=0,所以x=2y,又=+,即(x,y)=(0,2)+(1,0)=(,2),所以x=,y=2,所以=.8.解析(1)mn,mn=0,故sin x-cos x=0,tan x=1.(2)m与n的夹角为,cos=,故sin=.又x,x-,则x-=,即x=,故x的值为.9.解析(1)证明:-=(0,2sin x),(-)=0+2sin x0=0,(-).(2)ABC是等腰三角形,则AB=BC,(2sin x)2=(3cos x-)2+sin
7、2x,整理得2cos2x-cos x=0,解得cos x=0或cos x=.x,cos x=,x=.B组提升题组1.D由|a+b|=|a-b|可知ab,设=b,=a,如图,作矩形ABCD,连接AC,BD,可知=a+b,=a-b,设AC与BD的交点为O,结合题意可知OA=OD=AD,AOD=,DOC=,又向量a+b与a-b的夹角为与的夹角,故所求夹角为,选D.2.答案解析由=2得=+,所以=(-)=-+-,又=32cos 60=3,=9,=4,所以=-3+-2=-5=-4,解得=.3.解析(1)因为(2a-3b)(2a+b)=61,所以4|a|2-4ab-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,所以64-4ab-27=61,所以ab=-6,所以cos =-.又0,所以=.(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2=42+2(-6)+32=13.所以|a+b|=.(3)因为与的夹角=,所以ABC=-=.又|=|a|=4,|=|b|=3,所以SABC=|sinABC=43=3.4.解析(1)由mn=-,得cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-,所以cos A=-,因为0Ab,所以AB,且B是ABC一内角,则B=.由余弦定理得(4)2=52+c2-25c,解得c=1,c=-7(舍去),故向量在方向上的投影为|cos B=ccos B=1=.
