《2018高考数学一轮复习 坐标系与参数方程 第1节 坐标系教师用书 文 北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018高考数学一轮复习 坐标系与参数方程 第1节 坐标系教师用书 文 北师大版（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、坐标系与参数方程坐标系与参数方程 第一节第一节 坐标系坐标系 考纲传真 1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形 的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极 坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程 1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：Error!的作用下，点 P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 2极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图 1 所示，在平面内取一个定点O，叫作极点，从O点引一条射线Ox，叫作极轴， 选定一个
2、单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)这样就确定了一个平面极坐标系， 简称为极坐标系 图 1 (2)极坐标 极径：设M是平面内任意一点，用表示线段OM的长，叫作点M的极径 极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫作点M的极角，记为. 极坐标：有序实数对(，)叫作点M的极坐标，记作M(，) 3极坐标与直角坐标的互化 设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)，则它们之间的 关系为： Error!Error! 4圆的极坐标方程 曲线图形极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆r(02) 圆心为(r,0)，半径为r的圆 2rcos ( 2 2) 圆心为，半径为r的圆 (r
3、， 2) 2rsin(00) 5.直线的极坐标方程 (1)直线l过极点，且极轴到此直线的角为，则直线l的极坐标方程是 (R R) (2)直线l过点M(a,0)且垂直于极轴，则直线l的极坐标方程为cosa . ( 2 2) (3)直线过M且平行于极轴，则直线l的极坐标方程为 (b， 2) sin_b(0) 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一 一对应关系( ) (2)若点P的直角坐标为(1，)，则点P的一个极坐标是.( ) 3 (2， 3) (3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的(
4、 ) (4)极坐标方程(0)表示的曲线是一条直线( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， 则线段y1x(0x1)的极坐标方程为( ) 【导学号：66482483】 A，0 1 cos sin 2 B，0 1 cos sin 4 Ccossin，0 2 Dcossin，0 4 A A y1x(0x1)， sin1cos(0cos1)， . 1 sin cos (0 2) 3(教材改编)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极 坐标系若曲线C的极坐标方程为2sin，则曲线C的直角坐标方程为_
5、x2y22y0 由2sin，得22sin. 所以曲线C的直角坐标方程为x2y22y0. 4已知直线l的极坐标方程为 2sin，点A的极坐标为A， ( 4)2 (2 2， 7 4 ) 则点A到直线l的距离为_ 由 2sin，得 2， 5 5 2 2 2 2 ( 4)2 ( 2 2 sin 2 2 cos ) 2 yx1. 由A，得点A的直角坐标为(2，2) (2 2， 7 4 ) 点A到直线l的距离d. |221| 2 5 2 2 5(2015江苏高考)已知圆C的极坐标方程为 22sin40，求圆 2 ( 4) C的半径 解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立
6、直角坐标系xOy. 2 分 圆C的极坐标方程可化为2240，4 分 2 ( 2 2 sin 2 2 cos ) 化简，得22sin2cos40. 6 分 则圆C的直角坐标方程为x2y22x2y40， 即(x1)2(y1)26， 所以圆C的半径为. 10 分 6 平面直角坐标系中的伸缩变换 将圆x2y21 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线 C. (1)求曲线C的方程； (2)设直线l：2xy20 与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为 极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程 解 (1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下
7、变为曲线C上的点(x，y)，依题意， 得Error!2 分 由xy1 得x2 21， 2 12 1 ( y 2) 故曲线C的方程为x21. 5 分 y2 4 (2)由Error!解得Error!或Error!6 分 不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为 ( 1 2，1) k ，8 分 1 2 于是所求直线方程为y1， 1 2(x 1 2) 化为极坐标方程，并整理得 2cos4sin3， 故所求直线的极坐标方程为. 10 分 3 4sin 2cos 规律方法 1.解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公 式的意义与作用；二是明确变换
8、前的点P(x，y)与变换后的点P(x，y)的坐标关系， 利用方程思想求解 2求交点坐标，得直线方程，最后化为极坐标方程，其实质是将 xcos，ysin代入转化 变式训练 1 在平面直角坐标系中，已知伸缩变换：Error! (1)求点A经过变换所得点A的坐标； ( 1 3，2) (2)求直线l：y6x经过变换后所得直线l的方程 解 (1)设点A(x，y)，由伸缩变换 ：Error!得Error!2 分 x 31，y1. 1 3 2 2 点A的坐标为(1，1). 5 分 (2)设P(x，y)是直线l上任意一点 由伸缩变换：Error!得Error!8 分 代入y6x，得 2y62x， x 3 yx
9、为所求直线l的方程. 10 分 极坐标与直角坐标的互化 (2015全国卷)在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：(x1) 2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求C1，C2的极坐标方程； (2)若直线C3的极坐标方程为(R R)，设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的 4 面积 解 (1)因为xcos，ysin，所以C1的极坐标方程为cos2，C2 的极坐标方程为22cos4sin40. 4 分 (2)将代入22cos4sin40，得 4 2340，解得12，2. 8 分 222 故12，即|MN|. 22 由于C2的半径为 1，所以C2MN的面积为
10、 . 10 分 1 2 迁移探究 1 若本例条件不变，求直线C1与C2的交点的极坐标 解 联立方程Error! 解得且2. 6 分 42 所以交点的极坐标为. 10 分 (2 2， 4) 迁移探究 2 本例条件不变，求圆C2关于极点的对称圆的方程 解 因为点(，)与点(，)关于极点对称， 设点(，)为对称圆上任意一点，则(，)在圆C2上， 所以()22cos4sin40. 6 分 故所求圆C2关于极点的对称圆的方程为x2y22x4y40. 10 分 规律方法 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是灵活应用互化公式： xcos，ysin，2x2y2，tan (x0) y x 2进行极坐标方
11、程与直角坐标方程互化时，要注意，的取值范围及其影响；要 善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等 方法 变式训练 2 (2016北京高考改编)在极坐标系中，已知极坐标方程C1：cos sin10，C2：2cos. 3 (1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状； (2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离 解 (1)由C1：cossin10， 3 xy10，表示一条直线. 2 分 3 由C2：2cos，得22cos， x2y22x，则(x1)2y21. C2是圆心为(1,0)，半径r1 的圆. 4 分 (2)由(1)知点(1,0)
12、在直线xy10 上， 3 因此直线C1过圆C2的圆心. 6 分 两交点A，B的连线段是圆C2的直径 因此两交点A，B间的距离|AB|2r2. 10 分 直线与圆的极坐标方程的应用 (2016全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为Error!(t为参 数，a0)在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos. (1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程； (2)直线C3的极坐标方程为0，其中0满足 tan02，若曲线C1与C2的公共 点都在C3上，求a. 解 (1)消去参数t得到C1的普通方程为x2(y1)2a2，则C1是以(0,1)为圆心， a为
13、半径的圆. 2 分 将xcos，ysin代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为 22sin1a20. 4 分 (2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 Error! 若0，由方程组得 16cos28sincos1a20， 由已知 tan2，得 16cos28sincos0，8 分 从而 1a20，解得a1(舍去)或a1. 当a1 时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上 所以a1. 10 分 规律方法 1.第(1)问将曲线C1的参数方程先化为普通方程，再化为极坐标方程， 考查学生的化归与转化能力第(2)问中关键是理解极坐标方程，有意识地将问题简单化， 进而求解 2由极坐标方程求曲
14、线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标方程解决， 可先转化为直角坐标方程，然后求解 变式训练 3 (2017太原市质检)已知曲线C1：xy和C2：Error!(为参数) 33 以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度 单位 (1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程； (2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于 P，Q两点，求P，Q两点间的距离. 【导学号：66482484】 解 (1)曲线C1化为cossin. 33 sin. 2 分 ( 6) 3 2 曲线C2化为1.(*) x2 6 y2 2 将xcos，ysin代入(*)式 得cos2sin21，即2(cos23sin2)6. 2 6 2 2 曲线C2的极坐标方程为2. 4 分 6 12sin2 (2)M(，0)，N(0,1)，P， 3 ( 3
