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1、线性代数,安徽工业大学 数理学院应用数学系 谷勤勤,LINE ALGEBRA,线性代数是研究自然现象数量关系规律的,学科, 理论严谨, 应用广泛, 发展迅速. 目前, 不,仅高等学校很多专业都要设这门课程, 而且从,上世纪末开始，这门课程特意被国家教委定为,本科生考研的数学课程之一，希望大家能认真,学好这门不易学好又不得不学好的重要课程.,教材 线性代数,主要教学参考书,国内有关经典教材,国外有关经典著作,数学是什么：数学是研究现实中数量关系 与空间形式的科学.,线性代数的特点：内容的抽象性、应用的广泛性、推理的严谨性和结论的明确性。,线性代数理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生
2、产和国民经济的各个部门中.尤其是计算机日益普及的今天,求解线性方程组等问题已成为研究科技问题经常遇到的课题. 例如:,1. 国民经济投入产出理论,2. 提高产品质量数学在微观经济 学中的应用,本学科的应用,3. 信息处理,线性代数的学习方法因人而异,在学习中注意以下几个环节,1. 课前预习,2. 认真听讲,3. 复习巩固,本学科的学习基本方法,4. 作业,5. 答疑,6. 融会贯通,第1.1节 行列式的定义,线性代数,主要内容:,一、二阶与三阶行列式,二、n阶行列式的定义,问题的提出：,求解二、三元线性方程组,二阶、三阶行列式,引出,引出,n 阶行列式,一、二阶与三阶行列式,1. 二阶行列式,
3、二元线性方程组：,由消元法，得,得,同理，得,于是，当,时，方程组有唯一解.,为便于记忆，引进记号,称记号,为二阶行列式.,其中 ，数,称为元素,为行标，表明元素位于第 行,为列标，表明元素位于第 列,注:,(1) 二阶行列式 算出来是一个数.,(2) 记忆方法：对角线法则,主对角线上两元素之积 副对角线上两元素之积.,因此，上述二元线性方程组的解可表示为,综上，令,则，,称 D 为方程组的系数行列式.,例1：,解方程组,解：,因为,所以,2. 三阶行列式,类似地，为讨论三元线性方程组,引进记号,称之为三阶行列式.,其中 ，数,称为元素,为行标，,为列标。,(1)沙路法,三阶行列式的计算:,(
4、2)对角线法则,注意 : 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的 乘积冠以负号,说明: 1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,2. 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列,三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.,例：,如果三元线性方程组,的系数行列式,利用三阶行列式求解三元线性方程组:,可以验证，方程组有唯一解，,其中，,例2:,解:,方程左端,例3: 解线性方程组,解:,由于方程组的系数行列式,同理可得,故方程组的解为:,二、n阶行列式的定义,由n行n列元素组成,称之为n阶行列式(determinant of order n),行列式这个词是Cauchy（柯西）把它用于已
5、经 出现在十八世纪著作中的,把元素排成方阵并采用双重足标的记法也是属于 他的.（两个竖条线是Cayley（凯莱）在 年引进的）,定义 由n阶行列式D中划去第i行第j列元素后剩下的n-1 行n-1列元素组成的n-1阶行列式，即:,n阶行列式的定义,定义1.1,注：上式归纳地定义了任意n阶行列式的值.,注意: 在n阶行列式展开式中,(1) 共有n!项;,(2) 每项由来自不同行不同列的n个元素相 乘而得到;,(3) 展开式中正负号各一半，即各n!/2项;,例4: 计算上三角行列式(upper triangular determinant),分析,这是一个n阶行列式，但它的第一列除,所以利用定义展开时只有一项不为零，于是,解:,都是零，,例5:,定理1.1 设D是n阶行列式，则对任意,同理可得下三角行列式(lower triangular determinant),例6: 证明对角行列式(diagonal determinant),证明:,第一式是显然的,下面证第二式.,若记,则依行列式定义,
