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1、2018高考数学异构异模复习考案 第十章 圆锥曲线与方程 10.1.2 椭圆的几何性质撬题 文1一个圆经过椭圆1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为_答案2y2解析由题意知,圆过椭圆的三个顶点(4,0),(0,2),(0,2),设圆心为(a,0),其中a0,由4a,解得a,所以该圆的标准方程为2y2.2.过点M(1,1)作斜率为的直线与椭圆C:1(ab0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于_答案解析设A(x1,y1),B(x2,y2),则1,1.、两式相减并整理得.把已知条件代入上式得,故椭圆的离心率e.3已知椭圆C:1(ab0)的左焦点为F,C与过
2、原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|10,|AF|6,cosABF,则C的离心率e_.答案解析如图,设右焦点为F1,|BF|x,则cosABF.解得x8,故AFB90.由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|8,且FAF190,FAF1是直角三角形,|F1F2|10,故2a8614,2c10,e.4设椭圆E的方程为1(ab0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|2|MA|,直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程解(1)由
3、题设条件知,点M的坐标为,又kOM,从而,进而得ab,c2b,故e.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB的方程为1,点N的坐标为.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为,则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上,且kNSkAB1,从而有解得b3.所以a3,故椭圆E的方程为1.5如图,椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQPF1.(1)若|PF1|2,|PF2|2,求椭圆的标准方程;(2)若|PF1|PQ|,求椭圆的离心率e.解(1)由椭圆的定义,2a|PF1|PF2|(2)(2)4,故a2.设椭圆的半焦距为c,由已知PF1PF2,因
4、此2c|F1F2| 2,即c,从而b1.故所求椭圆的标准方程为y21.(2)解法一:连接QF1,如图,设点P(x0,y0)在椭圆上,且PF1PF2,则1,xyc2,求得x0,y0.由|PF1|PQ|PF2|得x00,从而|PF1|222(a2b2)2a(a)2.由椭圆的定义,|PF1|PF2|2a,|QF1|QF2|2a.从而由|PF1|PQ|PF2|QF2|,有|QF1|4a2|PF1|.又由PF1PF2,|PF1|PQ|,知|QF1|PF1|,因此(2)|PF1|4a,即(2)(a)4a,于是(2)(1)4,解得e .解法二:连接QF1,如上图,由椭圆的定义,|PF1|PF2|2a,|QF
5、1|QF2|2a.从而由|PF1|PQ|PF2|QF2|,有|QF1|4a2|PF1|.又由PF1PQ,|PF1|PQ|,知|QF1|PF1|,因此,4a2|PF1|PF1|.|PF1|2(2)a,从而|PF2|2a|PF1|2a2(2)a2(1)a.由PF1PF2,知|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2,因此e .6.已知椭圆E:1(ab0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x2)2(y1)2的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程解(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bxcy
6、bc0,则原点O到该直线的距离d,由dc,得a2b2,解得离心率.(2)解法一:由(1)知,椭圆E的方程为x24y24b2.依题意,圆心M(2,1)是线段AB的中点,且|AB|.易知,AB与x轴不垂直,设其方程为yk(x2)1,代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,x1x2.由x1x24,得4,解得k.从而x1x282b2.于是|AB|x1x2|.由|AB|,得 ,解得b23.故椭圆E的方程为1.解法二:由(1)知,椭圆E的方程为x24y24b2.依题意,点A,B关于圆心M(2,1)对称,且|AB|.设A(x1,y1),
7、B(x2,y2),则x4y4b2, x4y4b2,两式相减并结合x1x24,y1y22,得4(x1x2)8(y1y2)0.易知AB与x轴不垂直,则x1x2,所以AB的斜率kAB.因此直线AB的方程为y(x2)1,代入得x24x82b20.所以x1x24,x1x282b2.于是|AB|x1x2|.由|AB|,得 ,解得b23.故椭圆E的方程为1.7设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|F1F2|.(1)求椭圆的离心率;(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切求直线l的斜率解(1)设椭圆右焦点F2
8、的坐标为(c,0)由|AB|F1F2|,可得a2b23c2.又b2a2c2,则.所以椭圆的离心率e.(2)由(1)知a22c2,b2c2.故椭圆方程为1.设P(x0,y0)由F1(c,0),B(0,c),有(x0c,y0),(c,c)由已知,有0,即(x0c)cy0c0.又c0,故有x0y0c0.又因为点P在椭圆上,故1.由和可得3x4cx00.而点P不是椭圆的顶点,故x0c,代入得y0,即点P的坐标为.设圆的圆心为T(x1,y1),则x1c,y1c,进而圆的半径rc.设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为ykx.由l与圆相切,可得r,即c,整理得k28k10,解得k4.所以,直线l的斜率
9、为4或4.8已知椭圆C的中心在原点,离心率e,右焦点为F(,0)(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆的上顶点为A,在椭圆C上是否存在点P,使得向量与共线?若存在,求直线AP的方程;若不存在,简要说明理由解(1)设椭圆C的方程为1(ab0),又离心率e,右焦点为F(,0),c,a2,b21,故椭圆C的方程为y21.(2)假设椭圆C上存在点P(x0,y0),使得向量与共线(x0,y01),(,1),x0(y01)又点P(x0,y0)在椭圆y21上,y1.由解得或P(0,1)或P.当点P的坐标为(0,1)时,直线AP的方程为x0,当点P的坐标为P时,直线AP的方程为x4y40,故存在满足题意的点P,直
10、线AP的方程为x0或x4y40.9在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:1(ab1)的离心率e,且椭圆C上一点N到Q(0,3)距离的最大值为4,过点M(3,0)的直线交椭圆C于点A、B.(1)求椭圆C的方程;(2)设P为椭圆上一点,且满足t(O为坐标原点),当|AB|0,解得k2.由题意得(x1x2,y1y2)t(x,y),则x(x1x2),y(y1y2)k(x1x2)6k.由点P在椭圆上,得4,化简得36k2t2(14k2)由|AB|x1x2|,得(1k2)(x1x2)24x1x23,将x1x2,x1x2代入得(1k2)0,则8k210,即k2,k2.由得t29,由得3t24,2t或t2.故实数t的取值范围为2t或t2.