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1、1.2.2 空间两条直线的位置关系(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1下列说法正确的有_(填序号)两条异面直线指的是不同在一个平面内的两条直线；两条异面直线指的是分别在某两个平面内的两条直线；两条异面直线指的是既不平行又不相交的两条直线；两条异面直线指的是平面内的一条直线和平面外的一条直线【解析】只说明两直线不同在一个平面内，没有说明平面的任意性；把两条直线放到特定的两个平面内，也不具有任意性；从反面肯定了两直线的异面；中的两条直线可能在同一平面内故填.【答案】2如图1223，A是BCD所在平面外一点，M，N分别是ABC和ACD的重心，若MN6，则BD_.图1223【解析】连结AM并延长
2、交BC于E，连结AN并延长交CD于F，则E，F分别为BC，CD的中点，连结EF.由题意知，EF69，BD2EF18.【答案】183如图1224，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形有_图1224【解析】中GHMN，中GMHN且GMHN，GH，MN必相交【答案】4空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连结四边中点的四边形的形状是_. 【解析】易证四边形EFGH为平行四边形，又E，F分别为AB，BC的中点，EFAC，又FGBD，EFG或其补角为AC与BD所成的角而AC与BD所成的角为90.EFG90，故四边形EFGH为矩形【答案】矩形5如果l和n是异面直
3、线，那么和l，n都垂直的直线有_条【解析】l和n是异面直线，则和l，n都垂直相交的直线有一条m，与m平行的直线和l，n都垂直【答案】无数6如图1225，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面是梯形，ABCD，则所有与A1AB相等的角是_图1225【解析】因四棱柱ABCDA1B1C1D1中AA1DD1.又ABCD，所以A1AB与D1DC相等又由于侧面A1ABB1，D1DCC1为平行四边形，所以A1AB与A1B1B，D1C1C也相等【答案】D1DC，D1C1C，A1B1B7如图1226，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是_图1226CC
4、1与B1E是异面直线；C1C与AE共面；AE，B1C1是异面直线；AE与B1C1所成的角为60.【解析】CC1与B1E共面，CC1与AE异面，故错；AE与BC垂直，BCB1C1，AEB1C1，故错【答案】8如图1227，过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作_条图1227【解析】连结AC1(图略)，则AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等；过点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱AB，AD，AA1所成的角也都相等故这样的直线l可以作4条【答案】4二、解答题9如图1228，E，F分别是长方体ABCDA1B
5、1C1D1的棱A1A，C1C的中点求证：四边形B1EDF是平行四边形图1228【证明】如图，设Q是DD1的中点，连结EQ，QC1.E是AA1的中点，EQ綊A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，EQ綊B1C1(平行公理)，四边形EQC1B1为平行四边形，B1E綊C1Q.又Q，F是矩形DD1C1C的两边的中点，QD綊C1F，四边形DQC1F为平行四边形，C1Q綊DF.又B1E綊C1Q，B1E綊DF，四边形B1EDF是平行四边形10如图1229所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角. 图1229【解】因为D，E分别是
6、VB，VC的中点，所以BCDE，因此ABC是异面直线DE与AB所成的角，又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，所以ABC是以ACB为直角的等腰直角三角形，于是ABC45，故异面直线DE与AB所成的角为45.能力提升1一个正方体纸盒展开后如图1230，在原正方体纸盒中有下列结论：图1230ABEF；AB与CM所成的角为60；EF与MN是异面直线；MNCD.以上结论中正确的是_(填序号)【解析】把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图所示，ABEF，EF与MN是异面直线，ABCM，MNCD，只有正确【答案】2如图1231，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱C1C与BC的中点，
7、则直线EF与直线D1C所成的角的大小是_图1231【解析】如图，连结BC1，A1B.BC1EF，A1BCD1，则A1BC1即为EF与D1C所成的角又A1BC1为60，直线EF与D1C所成的角为60.【答案】603如图1232所示，等腰直角三角形ABC中，BAC90，BC，DAAC，DAAB，若DA1，且E为DA的中点，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为_图1232【解析】如图，取AC的中点F，连结EF，BF，在ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，EFCD，BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角)在RtABC中，BC，ABAC，ABAC1，在RtEAB中，AB1，AEAD，BE.在RtAEF中，AFAC，AE，EF.在RtABF中，AB1，AF，BF.在等腰三角形EBF中，cosFEB，异面直线BE与CD所成角的余弦值为.【答案】4如图1233所示，ABC和ABC的对应顶点的连线AA，BB，CC交于同一点O，且.图1233(1)求证：ABAB，ACAC，BCBC；(2)求的值. 【解】(1)证明：AABBO，且，ABAB，同理ACAC，BCBC.(2)ABAB，ACAC且边AB和AB，AC和AC方向都相反，BACBAC，同理ABCABC，ACBACB，ABCABC且，2.
