《2018高考数学一轮复习 第5章 数列 第4节 数列求和教师用书 文 北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018高考数学一轮复习 第5章 数列 第4节 数列求和教师用书 文 北师大版（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四节第四节 数列求和数列求和 考纲传真 1.掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列 的几种常见的求和方法 1公式法 (1)等差数列的前n项和公式： Snna1d； na1an 2 nn1 2 (2)等比数列的前n项和公式： SnError! 2分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解 3裂项相消法 (1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其 和 (2)裂项时常用的三种变形： ； 1 nn1 1 n 1 n1 ； 1 2n12n1 1 2( 1 2n1 1 2n1) . 1 nn1n1n 4错位相
2、减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数 列的前n项和可用错位相减法求解 5倒序相加法 如果一个数列an的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常 数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解 6并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf (n) 类型，可采用两项合并求解 例如，Sn10029929829722212 (10099)(9897)(21)5 050. 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)如果数列an为等比数列，且公比不等于 1，则其前n项和Sn
3、.( ) a1an1 1q (2)当n2 时，.( ) 1 n21 1 2( 1 n1 1 n1) (3)求Sna2a23a3nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位 相减法求得( ) (4)如果数列an是周期为k(k为大于 1 的正整数)的周期数列，那么SkmmSk.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2(教材改编)数列an的前n项和为Sn，若an，则S5等于( ) 1 nn1 A1 B 5 6 C. D 1 6 1 30 B B an ， 1 nn1 1 n 1 n1 S5a1a2a51 . 1 2 1 2 1 3 1 6 5 6 3(2016广东中山华侨中学 3 月
4、模拟)已知等比数列an中，a2a84a5，等差数列 bn中，b4b6a5，则数列bn的前 9 项和S9等于( ) A9 B18 C36 D72 B B a2a84a5，即a4a5，a54， 2 5 a5b4b62b54，b52， S99b518，故选 B. 4若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和Sn_. 【导学号：66482259】 2n12n2 Sn2n12n2. 212n 12 n12n1 2 5321422523(n2)2n_. 4 设S3 45(n2)， n4 2n 1 2 1 22 1 23 1 2n 则S345(n2). 1 2 1 22 1 23 1 24
5、1 2n1 两式相减得S3 . 1 2 1 2 ( 1 22 1 23 1 2n) n2 2n1 S3 ( 1 2 1 22 1 2n1) n2 2n 34. 1 21( 1 2)n1 11 2 n2 2n n4 2n 分组转化求和 (2016北京高考)已知an是等差数列，bn是等比数列，且 b23，b39，a1b1，a14b4. (1)求an的通项公式； (2)设cnanbn，求数列cn的前n项和 解 (1)设等比数列bn的公比为q，则q 3， b3 b2 9 3 所以b11，b4b3q27，所以bn3n1(n1,2,3，). 2 分 b2 q 设等差数列an的公差为d. 因为a1b11，a
6、14b427，所以 113d27，即d2. 所以an2n1(n1,2,3，). 5 分 (2)由(1)知an2n1，bn3n1. 因此cnanbn2n13n1. 7 分 从而数列cn的前n项和 Sn13(2n1)133n1 n2. 12 分 n12n1 2 13n 13 3n1 2 规律方法 分组转化法求和的常见类型 (1)若an bncn，且bn，cn为等差或等比数列，则可采用分组求和法求an的前 n项和 (2)通项公式为anError!的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采 用分组求和法求和 易错警示：注意在含有字母的数列中对字母的分类讨论 变式训练 1 (2016浙江高考)
7、设数列an的前n项和为Sn，已知 S24，an12Sn1，nN N*. (1)求通项公式an； (2)求数列|ann2|的前n项和 解 (1)由题意得Error!则Error!2 分 又当n2 时，由an1an(2Sn1)(2Sn11)2an，得an13an， 所以数列an的通项公式为an3n1，nN N*. 5 分 (2)设bn|3n1n2|，nN N*，则b12，b21. 当n3 时，由于 3n1n2，故bn3n1n2，n3. 8 分 设数列bn的前n项和为Tn，则T12，T23， 当n3 时，Tn3， 913n2 13 n7n2 2 3nn25n11 2 所以TnError!12 分 裂
8、项相消法求和 (2016重庆南开二诊)若An和Bn分别表示数列an和bn的前n项的和，对 任意正整数n，an2(n1)，3AnBn4n. (1)求数列bn的通项公式； (2)记cn，求cn的前n项和Sn. 2 AnBn 解 (1)由于an2(n1)，an为等差数列，且a14. 2 分 Ann23n， na1an 2 n42n2 2 Bn3An4n3(n23n)4n3n25n， 当n1 时，b1B18， 当n2 时，bnBnBn13n25n3(n1)25(n1)6n2.由于b18 适合上 式，bn6n2. 5 分 (2)由(1)知cn 2 AnBn 2 4n28n ，7 分 1 4( 1 n 1
9、 n2) SnError! 1 4 Error! 1 4(1 1 2 1 n1 1 n2) . 12 分 3 8 1 4( 1 n1 1 n2) 规律方法 1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开 的项出现有规律的相互抵捎，要注意消去了哪些项，保留了哪些项，从而达到求和的目 的 2消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几 项 变式训练 2 (2017石家庄一模)已知等差数列an中，2a2a3a520，且前 10 项和S10100. (1)求数列an的通项公式； (2)若bn，求数列bn的前n项和 1 anan1 【导学号：66482260
10、】 解 (1)由已知得Error! 解得Error!3 分 所以数列an的通项公式为an12(n1)2n1. 5 分 (2)bn，8 分 1 2n12n1 1 2( 1 2n1 1 2n1) 所以Tn 1 2(1 1 3 1 3 1 5 1 2n1 1 2n1) . 12 分 1 2(1 1 2n1) n 2n1 错位相减法求和 (2016山东高考)已知数列an的前n项和Sn3n28n，bn是等差数列， 且anbnbn1. (1)求数列bn的通项公式； (2)令cn，求数列cn的前n项和Tn. an1n1 bn2n 解 (1)由题意知当n2 时，anSnSn16n5. 当n1 时，a1S111
11、，符合上式 所以an6n5. 2 分 设数列bn的公差为d. 由Error!即Error! 解得Error!所以bn3n1. 5 分 (2)由(1)知cn3(n1)2n1. 7 分 6n6n1 3n3n 又Tnc1c2cn， 得Tn3222323(n1)2n1， 2Tn3223324(n1)2n2，9 分 两式作差，得Tn322223242n1(n1)2n2 34 412n 12 n1 2n2 3n2n2， 所以Tn3n2n2. 12 分 规律方法 1.如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项 和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，若bn的公
12、 比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况讨论 2在书写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐” ，即公比q的同 次幂项相减，转化为等比数列求和 变式训练 3 (2016广东肇庆第三次模拟)已知等差数列an的前n项和Sn满足 S36，S515. (1)求an的通项公式； (2)设bn，求数列bn的前n项和Tn. an 2an 解 (1)设等差数列an的公差为d，首项为a1. S36，S515， Error!即Error! 解得Error!3 分 an的通项公式为an a1(n1)d1(n1)1n. 5 分 (2)由(1)得bn，6 分 an 2an n 2n Tn
13、， 1 2 2 22 3 23 n1 2n1 n 2n 式两边同乘 ， 得 1 2 Tn， 1 2 1 22 2 23 3 24 n1 2n n 2n1 得Tn 1 2 1 2 1 22 1 23 1 2n n 2n1 1，10 分 1 2(1 1 2n) 11 2 n 2n1 1 2n n 2n1 Tn2. 12 分 1 2n1 n 2n 思想与方法 解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路： (1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通 项分解或错位相减来完成 (2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和 易错与防范 1直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时， 应对其公比是否为 1 进行讨论 2利用裂项相消法求和的注意事项： (1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项 (2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差与系数之积与原通项 相等如：若an是等差数列， 则，. 1 anan1 1 d( 1 an 1 an1) 1 anan2 1 2d( 1 an 1 an2)
