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1、函数项级数一致收敛的判别 姓名： 学号： 指导老师：摘要：函数项级数问题是数学分析中极其重要的部分，判别其一致收敛的方法有多种。本文探讨了对函数项级数一致收敛的判别方法,并对有关的注意事项进行了分析。关键字：函数项级数 一致收敛 判别法Judgment on Uniform Convergence for Function SeriesName: Student Number: Advisor:Abstract: Issue of function series plays a very important role in Mathematical Analysis.There are var
2、ious methods to judging the uniform convergence of function series .This paper gives several methods of juding the uniform convergence of function series. Apart from that, the paper also analysizes some relative points that need to be paid special attention. Key words: Function series Uniformly conv
3、ergence Judgment 在数学分析中级数问题是一个特别重要的问题。级数内容主要分为两大块，即数项级数与函数项级数。数项级数通常被认为是函数项级数的一个典型例子，而函数项级数，在某种意义上，是对数项级数的延伸。在研究内容和性质上，它们又有着许多类似的地方，例如使用第个部分和数列的敛散性来判断级数的敛散性，以及判别收敛性的方法等。对于函数项级数，研究它的性质和一致收敛的判别则是学习的重点，并且它还是研究级数问题最重要的工具，对进一步研究函数项级数的性质起着重要的作用。教材中判别一致收敛的方法有很多，下面给出一种最基本的方法，即根据一致收敛的定义来进行判别。一 利用一致收敛的定义定义11：
4、 设函数项级数在上和函数为，称-为函数项级数的余项.定义21： 设函数项级数在区间上收敛于和函数，若任给有，则称函数项级数在区间上一致收敛或一致收敛于和函数.例1 证明：函数项级数在(其中)一致收敛。证 因为 有=,要使不等式=成立，从不等式 解得 取 N=于是 N=有 即函数项级数在一致收敛。以上的方法判别函数项级数的一致收敛性，都必须要给出和函数，如果在题目中没有给出或者很难计算出和函数，那么怎样才能判别它的一致收敛性，这时可以使用余项法来进行判断。二 利用余项的一致收敛性定理1 2 函数项级数在区间上一致收敛于的充要条件是： .例2 证明：函数项级数在内一致收敛.证 设函数，则，可见,当
5、充分大时，级数通项的绝对值趋于0，（当），故该级数为Leibniz级数，因而 （当）所以函数级数在内一致收敛.注意 如果函数项级数的和函数或余项易于求得，判别它的一致收敛性可应用上述的定义2或定理1. 有时虽然知道函数项级数在区间上收敛，但很难求得它的和函数或余项，这时候，如果要想判别此函数项级数在区间上的敛散性，可以通过分析级数本身的结构和组合特点，并对相关的判别法进行比较，选择最恰当的方法，下面给出Cauchy判别法。三 利用Cauchy准则判别定理23 函数项级数在区间上一致收敛的充要条件为：对任意给定的存在正整数，使得当时，对一切和任意的，都有: .或例3 证明：函数项级数在区间上一致
6、收敛证 .即 要使不等式=成立.从不等式 解得 取 N=，于是，N=，有 ,即级数在区间上一致收敛。通过上文的几个例题，我们可以看出，判别函数项级数的一致收敛性的方法有很多，这就要求大家在平时学习时，要学会善于总结。在做题目的过程中，我们会发现有这样一类级数，它们可以通过各项的特点来判别，比如对级数的通项进行适当放大，这样就会显得更加简便，下面给出利用weierstrass判别法。四 利用weierstrass判别法定理3 4 设函数项级数定义在数集上，为收敛的正项级数，若，每一项满足 ，则函数项级数在数集上一致收敛.例4 证明：函数项级数在闭区间上一致收敛.证 对通项求导，令得出全部极值可疑
7、点，1，,因为所以，为在上的最大值，因此， 又收敛，故由M判别法知，函数项级数在上一致收敛.注意 定理3是一种很简便而又有技巧性的判别法，但是这个方法有很大的局限性，即用它判别的函数项级数不仅一致收敛，而且还是绝对收敛的。但如果函数项级数是一致收敛的，并且它还是条件收敛的，此时运用定理3进行判别就会失效。5 若函数项级数条件收敛，此时要判别其一致敛散性，通常使用狄尼克雷或阿贝尔判别法，它们可以在一定程度上弥补上述的局限性。五 利用狄尼克雷判别法定理46 若级数满足下面三个条件：1）函数项级数的部分和函数列= （）在区间上一致有界2）对于每一个，函数列关于是单调的。3）在区间上函数项级数0,（）
8、，则级数在区间上一致收敛.例5 证明：函数项级数在上一致收敛。证 求级数的部分和 = =对，有： 即函数项级数的部分和函数列在上一致有界，而数列单调递减，且趋近于零0，当然在上也是一致收敛于0. 根据狄尼克雷判别法，函数项级数在区间上一致收敛。在题目中若能看出级数收敛和有界等隐含条件时，若使用狄尼克雷判别法失效，此时要想得到较确切的判别方法，可以依据这些题目的条件选择适当的方法对其敛散性进行判断，通常选择阿贝尔判别法则显得相对简便，在很大程度上可以提高解题速度。六 利用阿贝尔判别法定理56 若级数满足下面三个条件：1）函数项级数在区间上一致收敛2）对于每一个，函数列关于是单调的。3）函数列在区
9、间上一致有界，即对所有的和，使得则函数项级数在区间上一致收敛。例6 假设 均为常数，级数收敛，试证：在上一致收敛。证 1）由题意知收敛，显然关于一致收敛2）0利用欧拉积分，因为，即一致有界3）当时，即关于单调，故由Abel判别法，在上一致收敛. 上面各种判别法都有各自的优点，同时每一种方法对不同的题目时又具有一定的局限性和适用范围，也就是说，在遇到具体实际问题时，用以上的方法判别级数收敛性可能显得有些复杂，甚至是无法下手，下面再给出一种新的方法，即利用狄尼定理。七 应用Dini定理定理6 7 设函数项级数在区间上点态收敛于，如果（1） （=1,2）（2）（3）对，是正项级数或负项级数，则在上一
10、致收敛于.例7 证明：函数项级数在区间上一致收敛. 证 对， 有，补充定义则 计算和函数，当时，显见有，当时，有 ，于是得出 注意到 可见,故由Dini定理知在上一致收敛。本文对函数项级数一致收敛的一些常用判别法进行了详细的阐述和总结，并对每种方法都给予了典型例题，可以看出判别方法的有效性与多样性，并且希望通过对判别法的总结，使大家在学习和探讨函数项级数一致收敛问题时，能够更加准确和熟练的的运用各种判别法。同时，也可以看出，有些题目可以一题多解，深层掌握各个知识点间的联系，通过分析和比较选用最合适的判别法，问题就会迎刃而解，有助于拓展解题思路，进行发散性思维，以提高快速准确解题的能力。另外，运
11、用泛函分析和复变函数中的有关知识也可以判别一致收敛，例如导数判别法，比式以及根式判别法，利用它们来判别级数的一致收敛性也是可行的。本文虽没有给出详细的介绍，但这也是一个值的深入讨论的问题。参考文献：1华东师大数学系.数学分析M.北京:高等教育出版社,2001.30-32.2陈纪修,复旦大学数学系主编.数学分析（下册第三版）M.上海:上海科学技术出版社，2001. 25-27.3刘玉莲,傅沛仁.数学分析M.北京:高等教育出版社,1992.48. 4裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.北京:高等教育出版社,2006.586.5张筑生.数学分析新讲M.北京:北京出版社,2004.49.6吉米多维奇.数学分析例题集题解M.济南:山东科学技术出版社,1999.300. 7钱吉林.数学分析题解精粹（第二版）M.武汉:湖北长江集团崇文书局,2009.364.8裘兆泰,王承国,章仰文编.数学分析学习指导M.北京:科学出版社,2004.78.9毛一波.函数项级数一致收敛性的判定J.重庆文理学院学报,2006,5(4):55-56.10 Walter Rudin.Principles of Mathematical Analysis M.Bei Jing：McGraw-Hill.1996.87.9
